9.(2005年北京西城区抽样测试)已知sin2α=，α∈(，).

(1)求cosα的值；

(2)求满足sin(α－x)－sin(α+x)+2cosα=－的锐角x.

解：(1)因为＜α＜，

所以＜2α＜3π.

所以cos2α=－=－.

由cos2α=2cos²α－1，所以cosα=－.

(2)因为sin(α－x)－sin(α+x)+2cosα=－，

所以2cosα(1－sinx)=－.

所以sinx=.

因为x为锐角，所以x=.

探究创新

8.已知sinβ=msin(2α+β)(m≠1)，求证：tan(α+β)=tanα.

证明：∵sinβ=msin(2α+β)，

∴sin［(α+β)－α］=msin［(α+β)+α］.

∴sin(α+β)cosα－cos(α+β)sinα

=msin(α+β)cosα+mcos(α+β)sinα.

∴(1－m)sin(α+β)cosα

=(1+m)cos(α+β)sinα.

∴tan(α+β)=tanα.

7.已知sin(－x)=，0＜x＜，求的值.

分析：角之间的关系：(－x)+(+x)=及－2x=2(－x)，利用余角间的三角函数的关系便可求之.

解：∵(－x)+(+x)=，

∴cos(+x)=sin(－x).

又cos2x=sin(－2x)

=sin2(－x)=2sin(－x)cos(－x)，

∴=2cos(－x)=2×=.

6.已知cosα=，cos(α+β)=－，α、β∈(0，)，求β.

解：由cosα=，cos(α+β)=－，

得cosβ=cos［(α+β)－α］=，

得β=.

培养能力

5.(2004年湖南，17)已知tan(+α)=2，求的值.

解：由tan(+α)==2，

得tanα=.

于是====.

4.在△ABC中，若=，则△ABC的形状为_______.

解析：左边利用正弦定理，右边“切变弦”，原式可化为==

sin2A=sin2B2A=2B或2A=π－2BA=B或A+B=.

答案：等腰三角形或直角三角形

3.(2004年福建，2)tan15°+cot15°等于

A.2　　　　　　　　　　　　　　　 B.2+　　　　　　　　　　　 C.4　　　　　　　　　　　　　　　 D.

解析一：tan15°+cot15°=+===4.

解析二：由tan15°=tan(45°－30°)===.

∴原式=+=4.

答案：C

2.要使sinα－cosα=有意义，则应有

A.m≤　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.m≥－1

C.m≤－1或m≥　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.－1≤m≤

解析：2sin(α－)=sin(α－)=.

由－1≤≤1－1≤m≤.

答案：D

1.(2004年上海，1)若tanα=，则tan(α+)=____________.

解析：tan(α+)===3.

答案：3

5.△ABC中，若b=2a，B=A+60°，则A=_______.

解析：利用正弦定理，由b=2asinB=2sinAsin(A+60°)－2sinA=0cosA－3sinA=0sin(30°－A)=030°－A=0°(或180°)A=30°.

答案：30°

●典例剖析

[例1] 设cos(α－)=－，sin(－β)=，且＜α＜π，0＜β＜，求cos(α+β).

剖析：=(α－)－(－β).

依上述角之间的关系便可求之.

解：∵＜α＜π，0＜β＜，

∴＜α－＜π，－＜－β＜.

故由cos(α－)=－，得sin(α－)=.

由sin(－β)=，得cos(－β)=.

∴cos()=cos［(α－)－(－β)］=…=.

∴cos(α+β)=2cos²－1=…=－.

评述：在已知角的某一三角函数值而求另外一些角的三角函数值时，首先要分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系.其中变角是常见的三角变换.

[例2] (2000年春季京、皖)在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c.

证明：=.

剖析：由于所证结论是三角形的边、角关系，很自然地使我们联想到正弦定理、余弦定理.

证明：由余弦定理a²=b²+c²－2bccosA，

b²=a²+c²－2accosB，

∴a²－b²=b²－a²－2bccosA+2accosB，

整理得=.

依正弦定理有=，=，

∴=

=.

评述：在解三角形中的问题时，首先应想到正余弦定理，另外还有A+B+C=π，a+b＞c，a＞bA＞BsinA＞sinB等.

[例3] 已知α、β、γ∈(0，)，sinα+sinγ=sinβ，cosβ+cosγ=cosα，求β－α的值.

剖析：由已知首先消去γ是解题关键.

解：由已知，得sinγ=sinβ－sinα，cosγ=cosα－cosβ.

平方相加得

(sinβ－sinα)²+(cosα－cosβ)²=1.

∴－2cos(β－α)=－1.∴cos(β－α)=.

∴β－α=±.

∵sinγ=sinβ－sinα＞0，∴β＞α.∴β－α=.

评述：本题极易求出β－α=±，如不注意隐含条件sinγ＞0，则产生增根.因此求值问题要注意分析隐含条件.

●闯关训练

夯实基础