2.(2005年春季北京，5)“ab<0”是“曲线ax²+by²=1为双曲线”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

解析：由ab<0，得a>0，b<0或a<0，b>0.

由此可知a与b符号相反，则方程表示双曲线，反之亦然.

答案：C

1.(2004年天津，4)设P是双曲线－=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y=0，F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点.若|PF₁|=3，则|PF₂|等于

A.1或5　　　　 　B.6　　　　　　　　　　　　　 　 C.7　　　　　　　　　　 　　　 D.9

解析：由渐近线方程y=x，且a=2，

∴b=3.据定义有|PF₂|－|PF₁|=4，

∴|PF₂|=7.

答案：C

5.求与圆A：(x+5)²+y²=49和圆B：(x－5)²+y²=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为________________.

解析：利用双曲线的定义.

答案：－=1(x＞0)

●典例剖析

[例1] 根据下列条件，求双曲线方程：

(1)与双曲线－=1有共同的渐近线，且过点(－3，2)；

(2)与双曲线－=1有公共焦点，且过点(3，2).

剖析：设双曲线方程为－=1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b的两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程.

解法一：(1)设双曲线的方程为－=1，

－=1，

解得a²=，b²=4.

所以双曲线的方程为－=1.

(2)设双曲线方程为－=1.

由题意易求c=2.

又双曲线过点(3，2)，

∴－=1.

又∵a²+b²=(2)²，

∴a²=12，b²=8.

故所求双曲线的方程为－=1.

解法二：(1)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，

将点(－3，2)代入得λ＝，

所以双曲线方程为－＝.

(2)设双曲线方程为－＝1，

将点(3，2)代入得k=4，所以双曲线方程为－＝1.

评述：求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e及准线)之间的关系，并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程ax±by=0，可设双曲线方程为a²x²－b²y²=λ(λ≠0).

[例2] (2002年全国，19)设点P到点M(－1，0)、N(1，0)距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围.

剖析：由|PM|－|PN|=2m，得||PM|－|PN||=2|m|.知点P的轨迹是双曲线，由点P到x轴、y轴距离之比为2，知点P的轨迹是直线，由交轨法求得点P的坐标，进而可求得m的取值　　 范围.

解：设点P的坐标为(x，y)，依题意得=2，即y=±2x(x≠0).　　　　　　　　　　　 　 ①

因此，点P(x，y)、M(－1，0)、N(1，0)三点不共线，得||PM|－|PN||<|MN|=2.

∵||PM|－|PN||=2|m|>0，

∴0<|m|<1.因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上.

故－=1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ②

将①代入②，并解得x²=，

∵1－m²>0，∴1－5m²>0.

解得0<|m|<，

即m的取值范围为(－，0)∪(0，).

评述：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力.解决此题的关键是用好双曲线的定义.

[例3] 如下图，在双曲线－=1的上支上有三点A(x₁，y₁)，B(x₂，6)，C(x₃，y₃)，它们与点F(0，5)的距离成等差数列.

(1)求y₁+y₃的值；

(2)证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标.

剖析：可以验证F为焦点，利用第二定义可得三点到准线的距离也成等差数列，进而有三点纵坐标成等差数列，由此易得y₁+y₃的值.为求出AC的中垂线所过定点，不妨设想作出A与C关于y轴的对称点A′与C′.由双曲线的对称性，易知A′与C′也在双曲线上，且A′、B、C′满足题设条件，所以A′C′的中垂线也应过此定点.由两条中垂线关于y轴对称.所以定点应在y轴上.

(1)解：c==5，故F为双曲线的焦点，设准线为l，离心率为e，由题设有2|FB|=|FA|+|FC|.　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ①

分别过A、B、C作x轴的垂线AA₂、BB₂、CC₂，交l于A₁、B₁、C₁，则由双曲线第二定义有|FB|=e|BB₁|，|FA|=e|AA₁|，|FC|=e|CC₁|，代入①式，得2e|BB₁|=e|AA₁|+e|CC₁|，

即2|BB₁|=|AA₁|+|CC₁|.

于是两边均加上准线与x轴距离的2倍，有

2|BB₂|=|AA₂|+|CC₂|，

此即2×6=y₁+y₃，可见y₁+y₃=12.

(2)证明：AC的中垂线方程为

y－=－(x－)，

即y－6=－x+.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ②

由于A、C均在双曲线上，

所以有－=1，－=1.

相减得=.于是有

=(y₁+y₃)=·12=13，

故②变为y=－x+，易知此直线过定点D(0，).

评述：利用第二定义得焦半径，可使问题容易解决.中垂线过弦AC的中点，中点问题往往把A、C的坐标代入方程，两式相减、变形，即可解决问题.

●闯关训练

夯实基础

4.已知圆C过双曲线－=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________.

解析：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆心的横坐标为4.故圆心坐标为(4，±).易求它到中心的距离为.

答案：

3.如果双曲线－＝1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的右准线距离是

A.10　　 　　　　　B.　 　　　　　C.2　 　　　　　　D.

解析：利用双曲线的第二定义知P到右准线的距离为=8×=.

答案：D

2.过点(2，－2)且与双曲线－y²=1有公共渐近线的双曲线方程是

A.－=1　　　　　　　　　　　　 B.－=1

C.－=1　　　　　　　　　　　　 D.－=1

解析：可设所求双曲线方程为－y²=λ，把(2，－2)点坐标代入方程得λ=－2.

答案：A

1.(2004年春季北京)双曲线－=1的渐近线方程是

A.y=±x　　　　 B.y=±x　　　　 C.y=±x　　　　　 D.y=±x

解析：由双曲线方程可得焦点在x轴上，a=2，b=3.

∴渐近线方程为y=±x=±x.

答案：A

8.2　 双曲线

●知识梳理

定义	1.到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长(＜|F1F2|)的点的轨迹 2.到定点F与到定直线l的距离之比等于常数e(＞1)的点的轨迹
方程	1. －=1，c=，焦点是F1(－c，0)，F2(c，0) 2.－=1，c=，焦点是F1(0，－c)、F2(0，c)
性质	H：－=1(a＞0，b＞0) 1.范围：|x|≥a，y∈R 2.对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称 3.顶点：轴端点A1(－a，0)，A2(a，0) 4.渐近线：y=x，y=－x 5.离心率：e=∈(1，+∞) 6.准线：l1：x=－，l2：x= 7.焦半径：P(x，y)∈H， P在右支上， r1=|PF1|=ex+a， r2=|PF2|=ex－a； P在左支上， r1=|PF1|=－(ex+a)， r2=|PF2|=－(ex－a)

思考讨论　　

对于焦点在y轴上的双曲线－=1(a＞0，b＞0)，其性质如何？焦半径公式如何推导？

●点击双基

3.椭圆参数的几何意义，如下图所示：

(1)|PF₁|+|PF₂|=2a，==e；

(2)|A₁F₁|=|A₂F₂|=a－c，|A₁F₂|=|A₂F₁|=a+c；

(3)|BF₂|=|BF₁|=a，|OF₁|=|OF₂|=c；

(4)|F₁K₁|=|F₂K₂|=p=，

|PM₂|+|PM₁|=.

●教师下载中心

教学点睛

本节的重点是椭圆的定义、方程、几何性质.难点是理解参数a、b、c、e的关系，及利用第二定义解决问题，关键是注意数形结合，函数与方程的思想，等价转化的运用.为此建议在教学中注意以下几点：

(1)椭圆中有一个十分重要的三角形OF₁B₂(如下图)，它的三边长分别为a、b、c.易见c²=a²－b²，且若记∠OF₁B₂=θ，则cosθ==e.

(2)应理解椭圆是平面内到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹，本质上，它与坐标系无关，而坐标系是研究的手段.实际上，人们研究圆锥曲线的记录早于笛卡儿发明坐标系，从而椭圆本身所固有的性质并不依赖于坐标系，这些性质不因坐标系的选择而改变.例如上述的△OF₁B₂、公式cosθ=e等，均不因坐标系的改变而改变.

(3)椭圆的定义中应注意常数大于|F₁F₂|.因为当平面内的动点与定点F₁、F₂的距离之和等于|F₁F₂|时，其动点轨迹就是线段F₁F₂；当平面内的动点与定点F₁、F₂的距离之和小于|F₁F₂|时，其轨迹不存在.

(4)椭圆标准方程中两个参数a和b确定了椭圆的形状和大小.两种标准方程中，总有a＞b＞0；椭圆的焦点位置决定标准方程的类型；a、b、c的关系是c²=a²－b²；在方程Ax²+By²=C中，只要A、B、C同号，就是椭圆方程.

(5)当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离，焦点弦长相关时，常利用椭圆的第二定义，转化为点到准线的距离来研究，即正确应用焦半径公式.

(6)使用椭圆的第二定义时，一定要注意动点P到焦点的距离与对应准线距离之比为常数e.若使用的焦点与准线不是对应的，则上述之比就不再是常数了.

拓展题例

[例1] (2003年太原市模拟题)如下图，已知△OFQ的面积为S，且·=1.

(1)若＜S＜2，求向量与的夹角θ的取值范围；

(2)设||=c(c≥2)，S=c，若以O为中心，F为一个焦点的椭圆经过点Q，当||取最小值时，求椭圆的方程.

解：(1)由已知，得

||||sin(π－θ)=S，

||||cosθ=1.

∴tanθ=2S.

∵＜S＜2，∴1＜tanθ＜4.

则＜θ＜arctan4.

(2)以O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系.

设椭圆方程为+=1(a＞b＞0)，Q(x，y).

=(c，0)，则=(x－c，y).

∵||·y=c，∴y=.

又∵·=c(x－c)=1，∴x=c+.

则||==(c≥2).

可以证明：当c≥2时，函数t=c+为增函数，

∴当c=2时，

||_min==，

此时Q(，).将Q的坐标代入椭圆方程，

a²－b²=4.　　　　　　 b²=6.

∴椭圆方程为+=1.

[例2] (2002年春季全国)已知某椭圆的焦点是F₁(－4，0)、F₂(4，0)，过点F₂，并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且｜F₁B｜+｜F₂B｜＝10．椭圆上不同的两点A(x₁，y₁)、C(x₂，y₂)满足条件：｜F₂A｜、｜F₂B｜、｜F₂C｜成等差数列.

(1)求该椭圆的方程；

(2)求弦AC中点的横坐标；

(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y＝kx+m，求m的取值范围.

(1)解：由椭圆定义及条件知

2a＝｜F₁B｜+｜F₂B｜＝10，得a＝5.又c＝4，

所以b＝＝3．

故椭圆方程为+＝1．

(2)解：由点B(4，y_B)在椭圆上，得｜F₂B｜＝｜y_B｜＝．

方法一：因为椭圆右准线方程为x＝，离心率为．

根据椭圆定义，有｜F₂A｜＝(－x₁)，｜F₂C｜＝(－x₂)．

由｜F₂A｜、｜F₂B｜、｜F₂C｜成等差数列，得

(－x₁)+(－x₂)＝2×．

由此得出x₁+x₂＝8．

设弦AC的中点为P(x₀，y₀)，

则x₀＝＝＝4．

方法二：由｜F₂A｜、｜F₂B｜、｜F₂C｜成等差数列，得+＝2×，　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ①

由A(x₁，y₁)在椭圆+＝1上，得

y₁²＝(25－x₁²)，

所以

=

＝＝(25－4x₁).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ②

同理可得＝(25－4x₂)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ③

将②③代入①式，得

(25－4x₁)+(25－4x₂)＝．

所以x₁+x₂＝8．

设弦AC的中点为P(x₀，y₀)，

则x₀＝＝＝4．

(3)解法一：由A(x₁，y₁)，C(x₂，y₂)在椭圆上，得

9x₁²+25y₁²＝9×25，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ④

9x₂²+25y₂²＝9×25．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ⑤

由④－⑤得9(x₁²－x₂²)+25(y₁²－y₂²)＝0，

即9()+25()()＝0(x₁≠x₂).

将＝x₀=4，＝y₀，＝－(k≠0)代入上式，得

9×4+25y₀(－)＝0(k≠0)．

由上式得k＝y₀(当k＝0时也成立).

由点P(4，y₀)在弦AC的垂直平分线上，得

y₀＝4k+m，

所以m＝y₀－4k＝y₀－y₀＝－y₀．

由P(4，y₀)在线段BB′(B′与B关于x轴对称)的内部，得－＜y₀＜.

所以－＜m＜．

评述：在推导过程中，未写明“x₁≠x₂”“k≠0”“k＝0时也成立”及把结论写为“－≤m≤”也可以.

解法二：因为弦AC的中点为P(4，y₀)，

所以直线AC的方程为

y－y₀＝－(x－4)(k≠0).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ⑥

将⑥代入椭圆方程+＝1，得

(9k²+25)x²－50(ky₀+4)x+25(ky₀+4)²－25×9k²＝0．

所以x₁+x₂＝＝8．

解得k＝y₀(当k＝0时也成立).

以下步骤同解法一.

2.要明确参数a、b、c、e的相互关系、几何意义及与一些概念的联系.灵活运用它们之间的关系可使问题顺利解决.