2.12　 函数的综合问题

●知识梳理

函数的综合应用主要体现在以下几方面：

2.利用判别式法及不等式法求最值时，都需检验等号能否取到.另外，利用判别式法解决问题时，一定要考虑二次项系数可否为零.当二次项系数为零时，不能用判别式法解决问题.

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教学点睛

利用导数先求极大值和极小值，然后确定最值，也是求函数最值的常用方法.复习本节时应适当渗透导数的有关知识.

拓展题例

[例1] 已知二次函数y=f(x)的最大值等于13，且f(3)=f(－1)=5，求f(x)的解析式.

解：∵f(3)=f(－1)，

∴抛物线y=f(x)有对称轴x=1.故可设f(x)=a(x－1)²+13，将点(3，5)代入，求得a=－2.

∴f(x)=－2(x－1)²+13=－2x²+4x+11.

[例2] 已知函数f(x)的定义域为R，且对一切x∈R，都有f(x+2)=f(2－x)，f(x+7)=f(7－x).

(1)若f(5)=9，求f(－5)的值；

(2)已知x∈［2，7］时，f(x)=(x－2)²，求当x∈［16，20］时，函数g(x)=2x－f(x)的表达式，并求出g(x)的最大值和最小值.

解：(1)由f(x+2)=f(2－x)，f(x+7)=f(7－x)可以发现函数f(x)的图象关于直线x=2，x=7对称，且f(x)=f［(x－2)+2］=f［2－(x－2)］=f(4－x)=f［7－(3+x)］= f［7+(3+x)］=f(10+x).

∴f(x)是以10为周期的周期函数.

∴f(－5)=f(－5+10)=f(5)=9.

(2)根据周期性、图象的对称性，结合图象可得到f(x)=　

∴g(x)= 　

∵x∈［16，17］时，g(x)的最大值为16，最小值为9；x∈(17，20］时，g(x)＞g(17)=9，g(x)的最大值为g(20)=36，

∴［g(x)］_max=36，［g(x)］_min=9.

1.求函数的最值与求函数的值域是同一类问题，都必须熟练掌握本文开头列出的六种方法.

8.已知函数f(x)=x(1－x²)，x∈R.

(1)当x＞0时，求f(x)的最大值；

(2)当x＞0时，指出f(x)的单调性，并用定义证明；

(3)试作出函数f(x)(x∈R)的简图.

解：(1)∵x＞0，欲求f(x)的最大值，必有1－x²＞0，

y²=x²(1－x²)²=·2x²(1－x²)(1－x²)≤·［］³=，

∴y≤=.

当且仅当2x²=1－x²，即x=时，取“=”，即f(x)_max=f()=.

(2)由(1)知，当x∈(0，］时，f(x)单调递增，x∈［，+∞)时，f(x)单调递减.

设x₂＞x₁＞0，则

f(x₂)－f(x₁)=－x₂³+x₂－(－x₁³+x₁)

=(x₂－x₁)－(x₂－x₁)(x₂²+x₁x₂+x₁²)

=(x₂－x₁)［1－(x₂²+x₁x₂+x₁²)］.

当0＜x₁＜x₂≤时，x₂－x₁＞0，1－(x₂²+x₁x₂+x₁²)＞0.∴f(x₂)＞f(x₁).∴f(x)在(0，］上递增.

当≤x₁＜x₂时，x₂－x₁＞0，1－(x₂²+x₁x₂+x₁²)＜0，∴f(x₂)＜f(x₁).∴f(x)在［，+∞)上递减.

(3)注：图象过点(－1，0)、(0，0)、(1，0)，关于原点对称.

评述：第(1)题也可用导数解决.

∵(x)=1－3x²，

令(x)=0，∴x=±.

又x＞0，∴x=.

通过检验单调性知，当x=时，f(x)取得最大值，其最大值为，以下解法同上.

●思悟小结

7.已知函数g(x)=lg［a(a+1)x²－(3a+1)x+3］的值域是R，求实数a的取值范围.

解：由题意知，应使h(x)=a(a+1)x²－(3a+1)x+3能取到一切正实数.

①a=0时，h(x)=－x+3，显然能取到一切正实数；

②a=－1时，h(x)=2x+3，也能取到一切正实数；

③a≠0且a≠－1时，∵h(x)=a(a+1)x²－(3a+1)x+3是二次函数，

∴必须有

解得≤a＜－1或0＜a≤.

综上所述，a的取值范围是

［，－1］∪［0，］.

探究创新

6.设函数f(x)=x²+x+的定义域是［n，n+1］(n∈N)，问f(x)的值域中有多少个整数？

解：∵f(x)=(x+)²+的图象是以(－，)为顶点，开口向上的抛物线，而自然数n＞－，∴f(x)的值域是［f(n)，f(n+1)］，即［n²+n+，n²+3n+］.其中最小的整数是n²+n+1，最大的整数是n²+3n+2，共有(n²+3n+2)－(n²+n+1)+1=2n+2个整数.

5.求函数y=|x|的最值.

解：三角代换.设x=cosθ，θ∈［0，］，

(f(x)是偶函数，不必取θ∈［0，π］)则y=sin2θ.∴y_max=，y_min=0.

培养能力

4.函数y=(x≥0)的值域是______________.

解析：由y=(x≥0)，得x=≥0.

∴－＜y≤3.

答案：(－，3］

3.(2005年北京海淀模拟题)设函数f(x)的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f(x)|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f(x)为F函数.给出下列函数：

①f(x)=0；②f(x)=x²；③f(x)=(sinx+cosx)；④f(x)=；⑤f(x)是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x₁、x₂，均有|f(x₁)－f(x₂)|≤2|x₁－x₂|.

其中是F函数的序号为___________________.

答案：①④⑤