2.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.

1.两个平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直.

9.5　 两个平面垂直

●知识梳理

3.为了应用两平面平行的条件，往往作第三个平面与它们相交.

拓展题例

[例1] 下列命题中，错误的是

A.三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面

B.平面α∥平面β，aα，过β内的一点B有唯一的一条直线b，使b∥a

C.α∥β，γ∥δ，α、β、γ、δ的交线为a、b、c、d，则a∥b∥c∥d　　

D.一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件

解析：D错误.当两平面平行时，则该直线与两个平面成等角；反之，如果一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面.

如下图，α⊥β，直线AB与α、β都成45°角，但α∩β=l.

答案：D

[例2] 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点.

(1)求证：MN∥平面PAD；

(2)当MN⊥平面PCD时，求二面角P-CD-B的大小.

(1)证明：取CD的中点E，连结ME、NE.

∵M、N分别是AB、PC的中点，

∴NE∥PD，ME∥AD.于是NE∥平面PAD，

ME∥平面PAD.

∴平面MNE∥平面PAD，MN平面MNE.

∴MN∥平面PAD.

(2)解：设MA=MB=a，BC=b，则MC=.

∵N是PC的中点，MN⊥平面PCD，

∴MN⊥PC.于是MP=MC=.

∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥AM，PA==b.

于是PD= b，EN是△PDC的中位线，EN=PD=b.

∵ME⊥CD，MN⊥平面PCD，

∴EN⊥CD，∠MEN即为二面角P-CD-B的平面角.

设为α，于是cosα==，α=45°，即二面角P-CD-B的大小为45°.

2.判定两个平面平行是本节的重点，除了依据定义、判定定理外，还可用垂直于同一条直线的两个平面平行；法向量平行的两个平面也平行等.

1.结合图形使学生熟练地掌握两个平面平行的判定定理及性质定理.

9.科学植树的一个重要因素就是要考虑阳光对树生长的作用.现在准备在一个朝正南方向倾角为α的斜坡上种树，假设树高为h m，当太阳在北偏东β而仰角为γ时，该树在坡面上的影长为多少米？

分析：如下图，DE是高度为h的树，斜坡AD朝正南方向，AB为东西方向，BC为南北方向.∠CBD=α，∠ACB=β，∠EAC=γ，∠AED=90°－γ，影长AD=x为未知量.但x难以直接与上述诸已知量发生联系，故设∠DAC=θ为辅助未知量，以揭示x与诸已知量之间的数量关系，作为沟通桥梁.

解：在△ADE中，=，

即=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

在△ACD中，CD=xsinθ，AC=xcosθ.

在△ABC中，BC=ACcosβ=xcosθcosβ.

在△BCD中，tanα==.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

由①推得x=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

由②推得tanθ=tanαcosβ，

即θ=arctan(tanαcosβ).

代入③，即得树在坡面上的影长.

●思悟小结

证明两平面平行的方法：

(1)利用定义证；

(2)利用判定定理证；

(3)利用“垂直于同一直线的两个平面平行”来证.

面面平行常常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行.所以注意转化思想的应用，在处理两异面直线有关的问题中，通常采用过其中一直线上的一点作另一条直线的平行线或直接连结的方法，即搭桥的方法，把异面问题转化为平面问题，从而应用平面几何知识加以解决.两平面平行的性质定理是证明空间两直线平行的重要依据，故应切实掌握好.

●教师下载中心

教学点睛

8.如下图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、E、F分别是棱A₁B₁、A₁D₁、B₁C₁、C₁D₁的中点，AB=a.

(1)求证：平面AMN∥平面EFDB；

(2)求异面直线BE与MN之间的距离.

(1)证明：∵MN∥EF，∴MN∥平面EFDB.

又AM∥DF，

∴AM∥平面EFDB.而MN∩AM=M，

∴平面AMN∥平面EFDB.

(2)解：∵BE平面EFDB，MN平面AMN，且平面AMN∥平面EFDB，

∴BE与MN之间的距离等于两平行平面之间的距离.

作出这两个平面与平面A₁ACC₁的交线AP、OQ，作OH⊥AP于H.

∵DB⊥平面A₁ACC₁，

∴DB⊥OH.而MN∥DB，∴OH⊥MN.

则OH⊥平面AMN.

∵A₁P=a，AP= a，

设∠A₁AP=θ，则cosθ==，

∴OH=AO·sinθ=a· a=a.

∴异面直线BE与MN的距离是a.

探究创新

7.如下图，已知平面α∥平面β∥平面γ，且β位于α与γ之间.点A、D∈α，C、F∈γ，

AC∩β=B，DF∩β=E.

(1)求证：=；

(2)设AF交β于M，ACDF，α与β间距离为h′，α与γ间距离为h，当的值是多少时，△BEM的面积最大?

(1)证明：连结BM、EM、BE.

∵β∥γ，平面ACF分别交β、γ于BM、CF，

∴BM∥CF.∴=.

同理，=.∴=.

(2)解：由(1)知BM∥CF，

∴==.同理，=.

∴S=CF·AD(1－)sin∠BME.

据题意知，AD与CF是异面直线，只是β在α与γ间变化位置.故CF、AD是常量，

sin∠BME是AD与CF所成角的正弦值，也是常量，令h′∶h=x.只要考查函数y=x(1－x)的最值即可，显然当x=，即= 时，y=－x²+x有最大值.

∴当= ，即β在α、γ两平面的中间时，S最大.

6.如下图，直线a∥直线b，a平面α，b平面β，α⊥平面γ，β⊥平面γ，a与b所确定的平面不与γ垂直.如果a、b不是γ的垂线，则必有α∥β.

证明：令α∩γ=直线a′，β∩γ=直线b′.分别过a、b上任一点在α内、β内作a′、b′的垂线m、n.根据两平面垂直的性质定理，

∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ.∴m∥n.

∵a不垂直于γ，m⊥γ，且a、m在α内，

∴a与m必是相交直线.又b与n在β内，且有a∥b，m∥n，∴a∥β，m∥β.∴α∥β.

点评：根据a∥b，在α、β内另找一对平行线.由α⊥γ、β⊥γ，联想到平面垂直的性质定理.本例沟通了平行与垂直、线线与线面及面面之间的联系.