10. 在平面直角坐标系中,已知A(0,2),B(4,0),设P、Q分别是线段AB、OB上的动点,它们同时出发,点P以每秒3个单位的速度从点A向点B运动,点Q以每秒1个单位的速度从点B向点O运动.设运动时间为t(秒).

(1)用含t的代数式表示点P的坐标;

(2)当t为何值时,△OPQ为直角三角形?

(3)在什么条件下,以Rt△OPQ的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的抛物线?选择一种情况,求出所确定的抛物线的解析式.

解:(1)作PM⊥y轴,PN⊥x轴.∵OA=3,OB=4,∴AB=5.

∵PM∥x轴,∴.∴.∴PM=t.

∵PN∥y轴,∴.∴.∴PN=3-t.

∴点P的坐标为(t,3-t).　 　

(2)①当∠POQ=90°时,t=0,△OPQ就是△OAB,为直角三角形.

②当∠OPQ=90°时,△OPN∽△PQN,∴PN²=ON•NQ.(3-t)²=t(4-t-t).

化简,得19t²-34t+15=0.解得t=1或t=.

③当∠OQP=90°时,N、Q重合.∴4-t=t,∴t=.

综上所述,当t=0,t=1,t=,t=时,△OPQ为直角三角形.

(3)当t=1或t=时,即∠OPQ=90°时,以Rt△OPQ的三个顶点可以确定一条对称轴平行于y轴的抛物线.当t=1时,点P、Q、O三点的坐标分别为P(,),Q(3,0),O(0,0).设抛物线的解析式为y=a(x-3)(x-0),即y=a(x²-3x).将P(,)代入上式,得a=-.∴y=-(x²-3x).

即y=-x²+x.

说明:若选择t=时,点P、Q、O三点的坐标分别是P(,),Q(,0),O(0,0).求得抛物线的解析式为y=-x²+x,相应给分.

9．　 如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长(0A<OB)是方程x²-18x+72=0的两个根，点C是线段AB的中点，点D在线段OC上，OD=2CD．

　 (1)求点C的坐标；

　 (2)求直线AD的解析式；

　 (3)P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以0、A、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)OA=6，OB=12　 ，

　　 点C是线段AB的中点，OC=AC.

　　 作CE⊥x轴于点E．

　　 ∴ OE=OA=3，CE=OB=6．

　　 ∴ 点C的坐标为(3，6).

　 (2)作DF⊥x轴于点F

　　 △OFD∽△OEC，=，于是可求得OF=2，DF=4．

　　 ∴ 点D的坐标为(2，4).

　　 设直线AD的解析式为y=kx+b．

　　 把A(6，0)，D(2，4)代人得，

　　 解得，

　　 ∴ 直线AD的解析式为y=-x+6　 .

　 (3)存在．

　　 Q₁(-3，3)；

　　 Q₂(3，-3)；

　　 Q₃(3，-3)　 ；

Q₄(6，6)　 .

8．已知一次函数y=+m(O<m≤1)的图象为直线，直线绕原点O旋转180°后得直线，△ABC三个顶点的坐标分别为A(-，-1)、B(，-1)、C(O，2)．

　　 (1)直线AC的解析式为________，直线的解析式为________ (可以含m)；

　　 (2)如图，、分别与△ABC的两边交于E、F、G、H，当m在其范围内变化时，判断四边形EFGH中有哪些量不随m的变化而变化?并简要说明理由；

　　 (3)将(2)中四边形EFGH的面积记为S，试求m与S的关系式，并求S的变化范围；

　　 (4)若m=1，当△ABC分别沿直线y=x与y=x平移时，判断△ABC介于直线，之间部分的面积是否改变?若不变请指出来．若改变请写出面积变化的范围．(不必说明理由)

解： (1)y= +2　　 y=-m

　 (2)不变的量有：

　 ①四边形四个内角度数不变，　 理由略；

　 ②梯形EFGH中位线长度不变(或EF+GH不变)，理由略．

　 (3)S=　 0<m≤1　 0<s≤　

　　 (4)沿y=平移时，面积不变；沿y=x平移时，面积改变，设其面积为，则

0<≤

7.如图，在平面直角坐标系中，两个函数的图象交于点A。动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ∥x轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它与△OAB重叠部分的面积为S.

(1)求点A的坐标.

(2)试求出点P在线段OA上运动时，S与运动时间t(秒)的关系式.

(3)在(2)的条件下，S是否有最大值？若有，求出t为何值时，S有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由.

(4)若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积最大时，运动时间t满足的条件是____________.

解：(1)由　　　 可得

　　　　 ∴A(4，4)。　　　　　　　　　　　　

(2)点P在y = x上，OP = t，

则点P坐标为

点Q的纵坐标为，并且点Q在上。

∴，

即点Q坐标为。

。　　　　　　　　　　　　　　　　　

当时，。

当，

当点P到达A点时，，

当时，

　 。

(3)有最大值，最大值应在中，

当时，S的最大值为12.　　　 　　　　　　　　 　

(4).

6.如图，二资助函数的图象经过点M(1，-2)、N(-1，6).

(1)求二次函数的关系式.

(2)把Rt△ABC放在坐标系内，其中∠CAB = 90°，点A、B的坐标分别为(1，0)、(4，0)，BC = 5。将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平移的距离.

解：(1)∵M(1，－2)，N(－1，6)在二次函数y = x²+bx+c的图象上，

∴　　　 解得

二次函数的关系式为y = x²－4x+1.　　　　　　　　　

(2)Rt△ABC中，AB = 3，BC = 5，∴AC = 4，　　　　　　　

解得　　　　　　　 　　　　

∵A(1，0)，∴点C落在抛物线上时，△ABC向右平移个单位.

5．已知如图，矩形OABC的长OA=，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC。

(1)填空：∠PCB=____度，P点坐标为(　 ， )；

(2)若P，A两点在抛物线y=－ x²+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；

(3)在(2)中的抛物线CP段(不包括C，P点)上，是否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由.

(1)30,(,);

(2)∵点P(,)，A(，0)在抛物线上，故 -× +b× +c=,-×3+b× +c=0, ∴b=,c=1. ∴抛物线的解析式为y=-x²+x+1,C点坐标为(0，1). ∵-×0²+×0+1=1，

∴ 点C在此抛物上.

4．已知函数y=和y=kx+l(k≠O)．

　　 (1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值；

　　 (2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点?

解；(1) ∵两函数的图象都经过点(1，a)，∴∴

　　　 (2)将y＝代人y=kx+l，消去y．得kx²+x一2=0．

　　 ∵k≠O，∴要使得两函数的图象总有公共点，只要△≥0即可．

　　 ∵△＝1+8k，

　　 ∴1+8k≥0，解得k≥一

　 ∴k≥一且k≠0．

3．如图9，抛物线y=ax²+8ax+12a与轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，抛物线上另有一点在第一象限，满足∠ ACB为直角,且恰使△OCA∽△OBC.

(1) 求线段OC的长.　

(2) 求该抛物线的函数关系式．

(3) 在轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？

若存在，求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，

请说明理由.

解：(1)；(2)；(3)4个点：

2．已知抛物线经过点．

(1)求抛物线的解析式．

(2)设抛物线顶点为，与轴交点为．求的值．

(3)设抛物线与轴的另一个交点为，求四边形的面积．

解：(1)解方程组

得，．

(2)顶点．

(3)在中，令得，，

令得或，．

_四边形(面积单位)

1.　 如图，已知点A(tanα，0)，B(tanβ，0)在x轴正半轴上，点A在点B的左边，α、β 是以线段AB为 斜边、顶点C在x轴上方的Rt△ABC的两个锐角．

　(1)若二次函数y＝－x²－kx+(2+2k－k²)的图象经过A、B两点，求它的解析式；

　(2)点C在(1)中求出的二次函数的图象上吗？请说明理由．

　解：(1)∵　α，β是Rt△ABC的两个锐角，

　∴　tanα·tanβ＝1．tanα＞0，tanβ＞0．　　　　　　　　　　　　　　　　

　由题知tanα，tanβ是方程

　x²+kx－(2+2k－k²)＝0的两个根，

　∴　tanx·tanβ＝(2＝2k－k²)＝k²－2k－2，∴　k²－2k－2＝1．

　解得，k＝3或k＝－1．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　而tanα+tanβ＝－k＞0，

　∴　k＜0．∴　k＝3应舍去，k＝－1．

　故所求二次函数的解析式为y＝－x²+x－1．　　　　　　　　　　　　　　

　(2)不在．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　过C作CD⊥AB于D．

　令y＝0，得－x²+x－1＝0，

　解得x₁＝，x₂＝2．

　∴　A(，0)，B(2，0)，AB＝．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　∴　tanα＝，tanβ＝2．设CD＝m．则有CD＝AD·tanα＝AD．

　∴　AD＝2CD．

　又CD＝BD·tanβ＝2BD，

　∴　BD＝CD．

　∴　2m+m＝．

　∴　m＝．∴　AD＝．

　∴　C(，)． 　

　当x＝时，y＝≠

∴　点C不在(1)中求出的二次函数的图象上．