2．平行四边形的运用

例2　 如图,∠1=∠2,则下列结论一定成立的是(　 )

A.　 AB∥CD　 B.　 AD∥BC　　 C.　 ∠B=∠D　　 D.　 ∠3=∠4

若ABCD是平行四边形，则上述四个结论中那些是　 正确？你还可以得到什么结论？

1、四边形

　例1(1)凸五边形的内角和等于______度，外角和等于______度，

(2)若一凸多边形的内角和等于它的外角和， 则它的边数是_______.

3、

2、

1、

23．已知：如图，△ABC中，点O是AC上边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，

MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．

(1)求证EO＝FO．

(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？证明你的结论．

[提示](1)证明OE＝OC＝OF；

(2)O点的位置首先满足四边形AECF是平行四边形，然后证明它此时也是矩形．

[答案](1)∵　 CE平分∠BCA，

∴　 ∠BCE＝∠ECO．

又　 MN∥BC，

∴　 ∠BCE＝∠CEO．

∴　 ∠ECO＝∠CEO．

∴　 OE＝OC．

同理　 OC＝OF．

∴　 OE＝OF．

(2)当点O运动到AC边的中点时，四边形AECF是矩形，证明如下：

∵ 　OE＝OF，又O是AC的中点，

即　 OA＝OC，

∴　 四边形AECF是平行四边形．

∵　 CE、CF分别平分∠BCA、∠ACD，且∠BCA+∠ACD＝180°，

∴　 ∠ECF＝∠ECO+∠OCF＝(∠BCA+∠ACD)＝90°．

∴　 □AECF是矩形．

22．如图(1)，AB、CD是两条线段，M是AB的中点，S_△DMC、S_△DAC和S_△DBC分别

表示△DMC、△DAC、△DBC的面积．当AB∥CD时，有

S_△DMC＝　 　　　　①

(1)如图(2)，若图(1)中AB∥CD时，①式是否成立？请说明理由．

(2)如图(3)，若图(1)中AB与CD相交于点O时，S_△DMC与S_△DAC和S_△DBC有何种相等关系？证明你的结论．

图(1)　　　　　 图(2)　　　　　 图(3)

[提示]△DAC，△DMC 和△DBC 同底CD，通过它们在CD 边上的高的关系，来确定它们面积的关系．

[答案](1)当AB∥CD时，①式仍成立．

分别过A、M、B作CD的垂线，AE、MN、BF的垂足分别为E、N、F．

∵　 M为AB的中点，

∴　 MN＝(AE+BF)．

∴　 S_△DAC+S_△DBC＝DC·AE+DC·BF＝DC·(AE+BF)＝2 S_△DMC．

∴　 S_△DMC＝

(2)对于图(3)有S_△DMC＝．

证法一：∵　 M是AB的中点，S_△ADM＝S_△BDM，S_△ACM＝S_△BCM，

S_△DBC＝S_△BDM+S_△BCM+S_△DMC，　　　　　　　　　　 ①

S_△DAC＝S_△ADM+S_△ACM－S_△DMC　　　　　　　　　　 ②

①－②得：S_△DBC－S_△DAC＝2 S_△DMC

∴　 S_△DMC＝．

证法二：如右图，过A作CD的平行线l，MN⊥l，垂足为N，BE⊥l，垂足为E．设A、M、B到CD的距离分别h₁、h₀、h₂．则MN＝h₁+h₀，BE＝h₂+h₁．

∵　 AM＝BM，

∴　 BE＝2 MN．

∴　 h₂+h₁＝2(h₁+h₀)，

∴　 h₀＝．

∴　 S_△DMC＝．

21．如图，已知M、N两点在正方形ABCD的对角线BD上移动，∠MCN为定角a，

连结AM、AN，并延长分别交BC、CD于E、F两点，则∠CME与∠CNF在M、

N两点移动过程，它们的和是否有变化？证明你的结论．

[提示]BD为正方形ABCD的对称轴，

∴　 ∠1＝∠3，∠2＝∠4，

用∠1和∠2表示∠MCN以及∠EMC+∠FNC．

[答案]∵　 BD为正方形ABCD的对称轴，

∴　 ∠1＝∠3，∠2＝∠4，

∴　 ∠EMC＝180°－∠1－∠3＝180°－2∠1．

同理　 ∠FNC＝180°－2∠2．

∴　 ∠EMC+∠FNC＝360°－2(∠1+∠2)．

∵　 ∠MCN＝180°－(∠1+∠2)，

∴　 ∠EMC+∠FNC总与2∠MCN相等．

因此∠EMC+∠FNC始终为定角，这定角为∠MCN的2倍．

20．已知：如图，以正方形ABCD的对角线为边作菱形AEFC，B在FE的延长线上．

求证：AE、AF把∠BAC三等分．

[提示]证出∠CAE＝30°即可．

[答案]连结BD，交AC于点O，作EG⊥AC，垂足为G点．

∵　 四边形AEFC为菱形，

∴　 EF∥AC．

∴　 GE＝OB．

∵　 四边形ABCD为正方形，

∴　 OB⊥AC，

∴　 OBGE，

∵　 AE＝AC，OB＝BD＝AC，

∴　 EG＝AE，

∴　 ∠EAG＝30°．

∴　 ∠BAE＝15°．

在菱形AEFC中，AF平分∠EAC，

∴　 ∠EAF＝∠FAC＝∠EAC＝15°

∴　 ∠EAB＝∠FAE＝∠FAC．

即AE、AF将∠BAC三等分．

19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AB、CD的中点，ME∥AN交BC于点E，求证AM＝NE．

[提示]延长AN交BC延长线于点F．证明NE为△ABF的中位线．

[答案]延长AN交BC的延长线于点F，

∵　 DN＝CN，∠AND＝FNC，

又由AD∥BC，得∠ADN＝∠FCN，

∴　 △ADN≌△FCN．

∴　 AN＝NF．

∵　 AM＝BM且ME∥AF，

∴　 BE＝EF．

∴　 NE为△ABF的中位线，

∴　 NE＝AB＝AM．