30.已知关于x的二次函数与，这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A, B两个不同的点．

(l)试判断哪个二次函数的图象经过A, B两点；

(2)若A点坐标为(-1, 0)，试求B点坐标；

(3)在(2)的条件下，对于经过A, B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？

解：(l)对于关于x的二次函数y =

　 由于△＝(-m ) ²-4×l×=-m²-2<0,

　　　 所以此函数的图象与x轴没有交点

　　　 对于关于x的二次函数 y =.

　　　 由于△＝(-m ) ²-4 ×l×=-m²-2<0,

　　　 所以此函数的图象与x轴没有交点

　　　 对于关于x的二次函数

　 　　由于

所以此函数的图象与x轴有两个不同的交点.

　　　　 故图象经过A、B两点的二次函数为

　　 (2 )将A(-1,0)代入，得=0.

　　　 整理，得m²-2m = 0 .

　　　 解之，得m=0，或m = 2．

　　　 当m =0时，y＝x²-1．令y = 0，得x²-1 = 0.

　　　 解这个方程，得x₁=-1，x₂=1

　　　 此时，B点的坐标是B (l, 0)．

　　　 当m=2时，y=x²-2x-3.令y=0，得x²-2x-3=0.

　　　 解这个方程，得x₁=-1，x₂=3

　　　 此时，B点的坐标是B(3，0).　

　　 (3) 当m =0时，二次函数为y＝x²-1，此函数的图象开口向上，对称轴为x=0，所以当x<0时，函数值 y 随：的增大而减小．

当m=2时，二次函数为y = x²-2 x-3 = (x-1)²-4, 此函数的图象开口向上，对称轴为x = l，所以当x < l 时，函数值y随x的增大而减小.

29、 如图，已知抛物线L₁: y=x²-4的图像与x有交于A、C两点，

(1)若抛物线l₂与l₁关于x轴对称，求l₂的解析式；

(2)若点B是抛物线l₁上的一动点(B不与A、C重合)，以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在l₂上；

(3)探索：当点B分别位于l₁在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由.

解：设l₂的解析式为y=a(x-h)²+k

　　 ∵l₂与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0，-4),l₁与l₂关于x轴对称，

　　 ∴l₂过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0，4)

　　 ∴y=ax²+4

　　 ∴0=4a+4　 得 a=-1

　 　∴l₂的解析式为y=-x²+4

　(2)设B(x₁ ,y₁)

　　 ∵点B在l₁上

　　 ∴B(x₁ ,x₁²-4) 　

　　 ∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称

　　 ∴B、D关于O对称

　　 ∴D(-x₁ ,-x₁²+4).

　　 将D(-x₁ ,-x₁²+4)的坐标代入l₂：y=-x²+4

　　　　　 ∴左边=右边

　　　　　 ∴点D在l₂上.

　(3)设平行四边形ABCD的面积为S,则

　　 S=2*S_△ABC =AC*|y₁|=4|y₁|

　 　a.当点B在x轴上方时，y₁＞0

　　　 ∴S=4y₁ ,它是关于y₁的正比例函数且S随y₁的增大而增大，

　　　 ∴S既无最大值也无最小值

　　 b.当点B在x轴下方时，-4≤y₁＜0

　　　 ∴S=-4y₁ ,它是关于y₁的正比例函数且S随y₁的增大而减小，

　　　 ∴当y₁ =-4时，S由最大值16，但他没有最小值

　　　 此时B(0,-4)在y轴上，它的对称点D也在y轴上.9分

　　　 ∴AC⊥BD

　　　 ∴平行四边形ABCD是菱形

　　　 此时S_最大=16.

28．如图10(单位：m)，等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合。设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为y.

(1)写出y与x的关系式；

(2)当x＝2，3.5时，y分别是多少？

(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，

三角形移动了多长时间？

(1)y＝2x²

(2)8；24.5

(3)5秒

27．已知抛物线：(，为常数，且，)的顶点为，与轴交于点；抛物线与抛物线关于轴对称，其顶点为，连接，，．

注：抛物线的顶点坐标为．

(1)请在横线上直接写出抛物线的解析式：________________________；

(2)当时，判定的形状，并说明理由；

(3)抛物线上是否存在点，使得四边形为菱形？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．

解：(1)．

(2)当时，为等腰直角三角形．

理由如下：

如图：点与点关于轴对称，点又在轴上，

．

过点作抛物线的对称轴交轴于，过点作于．

当时，顶点的坐标为，．

又点的坐标为，

．．

从而，．

由对称性知，．

为等腰直角三角形．

(3)假设抛物线上存在点，使得四边形为菱形，则．

由(2)知，，．

从而为等边三角形．

．

四边形为菱形，且点在上，点与点关于对称．

与的交点也为点，因此．

点的坐标分别为，

．

在中，．

，．

故抛物线上存在点，使得四边形为菱形，此时．

26．如图，已知抛物线与x轴交于A(m，0)、B(n，0)两点，与y轴交于点C(0， 3)，点P是抛物线的顶点，若m-n= -2，m·n =3．

(1)求抛物线的表达式及P点的坐标；

(2)求△ACP的面积S_△ACP．

解： (1)设抛物线的表达式为y=ax²+bx+c，∵抛物线过C(0，3)，∴c=3，

　　 又∵抛物线与x轴交于A(m，0)、B(n，0)两点，

∴m、n为一元二次方程ax²+bx+3=0的解，　　

∴m+n=- ，mn=，　　　　　　

由已知m-n= -2，m·n =3，∴解之得a=1，b=-4；m=1，n=3，　　　　

∴ 抛物线的表达式为y=x²-4x+3，P点的坐标是(2，1)

(2)由(1)知，抛物线的顶点P(2，-1)，过P作PD垂直于y轴于点D，所以，S_△BCP =S_梯形CBPD-S_△CPD=S_△COB+ S_梯形OBPD- S_△CPD，

∵B(3，0)，C(0，3)，

∴S_△BCP =S_△COB+ S_梯形OBPD- S_△CPD=×3×3+×1×(3+2)-×2×4=3．　

25． 已知：如图，A(0,1)是y轴上一定点，B是x轴上一动点，以AB为边，在∠OAB的外部作∠BAE＝∠OAB ，过B作BC⊥AB，交AE于点C.

(1)当B点的横坐标为时，求线段AC的长；

(2)当点B在x轴上运动时，设点C的纵、横坐标分别为y、x，试求y与x的函数关系式(当点B运动到O点时，点C也与O点重合)；

　　 (3)设过点P(0，-1)的直线l与(2)中所求函数的图象有两个公共点M₁(x₁，y₁)、M₂(x₂，y₂)，且x₁²+x₂²－6(x₁+x₂)=8，求直线l的解析式．　

解：(1)方法一：在Rt△AOB中，可求得AB＝　

∵∠OAB＝∠BAC，∠AOB＝∠ABC=Rt∠　 ，∴△ABO∽△ABC ，∴，由此可求得：AC＝

　方法二：由题意知：tan∠OAB=

　(2)方法一：当B不与O重合时，延长CB交y轴于点D，过C作CH⊥x轴，交x轴于点H，则可证得AC＝AD，BD＝--4′

　 ∵AO⊥OB，AB⊥BD，∴△ABO∽△BDO，则OB²＝AO×OD----6′，即

化简得：y=，当O、B、C三点重合时，y=x=0，∴y与x的函数关系式为：y=

方法二：过点C作CG⊥x轴，交AB的延长线于点H，则AC²＝(1－y)²+x²=(1+y)²，化简即可得。

(3)设直线的解析式为y=kx+b，则由题意可得：，消去y得：x²-4kx-4b=0，则有，由题设知：

x₁²+x₂²-6(x₁+x₂)=8，即(4k)²+8b-24k=8，且b=-1，则16k²-24k -16=0，解之得：k₁=2，k₂=，当k₁=2、b=-1时，

△＝16k²+16b=64-16>0，符合题意；当k₂=，b=-1时，△＝16k²+16b=4-16<0，不合题意(舍去)，∴所求的直线l的解析式为：y=2x-1

24． 已知：抛物线y=-x²+4x-3与x轴相交于A、B两点(A点在B点的左侧)，顶点为P．

(1)求A、B、P三点坐标；

　　 (2) 在下面的直角坐标系内画出此抛物线的简图，并根据简图写出当x取何值时，函数值y大于零；

　　 (3)确定此抛物线与直线y=-2x+6公共点的个数，并说明理由.

解：(1)求得A(1，0)，B (3，0)， P (2，1)

　 (2)作图正确　 　当1＜x＜3时，y>0

(3)由题意列方程组得： 　　　　

转化得：x²-6x+9=0　　　　　　　　　　　　　　　　　　

△　　 ＝0，∴方程的两根相等，　　　　　　　　　　　　　　　　

方程组只有一组解　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴此抛物线与直线有唯一的公共点

23. 已知抛物线与y

轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式 y=-x+2

并且线段CM的长为

(1)　　　 求抛物线的解析式。

(2)　　　 设抛物线与x轴有两个交点A(X₁ ，0)、B(X₂ ，0)，

且点A在B的左侧，求线段AB的长。

(3)　　　 若以AB为直径作⊙N，请你判断直线CM与⊙N的位置关系，并说明理由。

(1)解法一：由已知，直线CM：y=－x+2与y轴交于点C(0,2)抛物线 过点C(0,2)，所以c=2，抛物线的顶点M在直线CM上，所以　　

若b＝0，点C、M重合，不合题意，舍去，所以b＝－2。即M

过M点作y轴的垂线，垂足为Q，在

所以，，解得，。

∴所求抛物线为： 或　 　 以下同下。

(1)解法二：由题意得C(0 , 2),设点M的坐标为M(x ，y)

∵点M在直线上，∴

由勾股定理得，∵

∴=，即

解方程组 　得　 　　　　

∴M(-2，4) 或 M^‘ (2，0)

当M(-2，4)时，设抛物线解析式为，∵抛物线过(0，2)点，

∴，∴　　　　　　　

当M^‘(2，0)时，设抛物线解析式为

∵抛物线过(0，2)点，∴，∴

∴所求抛物线为： 或　 　

(2)∵抛物线与x轴有两个交点，

∴不合题意，舍去。

∴抛物线应为：　　　　　　　　　　　　　

抛物线与x轴有两个交点且点A在B的左侧，∴，得

(3)∵AB是⊙N的直径，∴r = ， N(－2，0)，又∵M(－2，4)，∴MN = 4

设直线与x轴交于点D，则D(2，0)，∴DN = 4，可得MN = DN，∴

，作NG⊥CM于G，在= r　

即圆心到直线CM的距离等于⊙N的半径，∴直线CM与⊙N相切　　　　　　　　　

22．已知抛物线y＝ax²+bx+c经过点(1，2).

(1)若a＝1，抛物线顶点为A，它与x轴交于两点B、C，且△ABC为等边三角形，求b的值.

(2)若abc＝4，且a≥b≥c，求|a|+|b|+|c|的最小值.

解：⑴由题意，a+b+c＝2，　∵a＝1，∴b+c＝1 　　　

抛物线顶点为A(－，c－)

设B(x₁，0)，C(x₂，0)，∵x₁+x₂＝－b，x₁x₂＝c，△＝b²－4c＞0

∴|BC|＝| x₁－x₂|＝＝＝

∵△ABC为等边三角形，∴ －c＝ 　 　　

即b²－4c＝2·，∵b²－4c＞0，∴＝2

∵c＝1－b，　∴b²+4b－16＝0，　b＝－2±2

所求b值为－2±2 　　　　 　

⑵∵a≥b≥c，若a＜0，则b＜0，c＜0，a+b+c＜0，与a+b+c＝2矛盾.

∴a＞0．　 　　

∵b+c＝2－a，bc＝

∴b、c是一元二次方程x²－(2－a)x+＝0的两实根．

∴△＝(2－a)²－4×≥0，　　　　

∴a³－4a²+4a－16≥0,　 即(a²+4)(a－4)≥0，故a≥4.　　

∵abc＞0，∴a、b、c为全大于0或一正二负．

①若a、b、c均大于0，∵a≥4，与a+b+c＝2矛盾；　 　

②若a、b、c为一正二负，则a＞0，b＜0，c＜0,

则|a|+|b|+|c|＝a－b－c＝a－(2－a)＝2a－2，　　

∵ a≥4，故2a－2≥6

当a＝4，b＝c＝－1时，满足题设条件且使不等式等号成立．

故|a|+|b|+|c|的最小值为6． 　

21. (2006·北京市海淀区)已知抛物线的部分图象如图1所示。

图1　　　　　　　　　　　　　　 图2

　　 (1)求c的取值范围；

　　 (2)若抛物线经过点(0，-1)，试确定抛物线的解析式；

　　 (3)若反比例函数的图象经过(2)中抛物线上点(1，a)，试在图2所示直角坐标系中，画出该反比例函数及(2)中抛物线的图象，并利用图象比较与的大小.22. 解：(1)根据图象可知

　　 且抛物线与x轴有两个交点

　　 所以一元二次方程有两个不等的实数根。

　　 所以，且

　　 所以

　　 (2)因为抛物线经过点(0，-1)

　　 把代入

　　 得

　　 故所求抛物线的解析式为

　　 (3)因为反比例函数的图象经过抛物线上的点(1，a)

　　 把代入，得

　　 把代入，得

　　 所以

　　 画出的图象如图所示.

　　 观察图象，除交点(1，-2)外，还有两个交点大致为和

　　 把和分别代入和可知，

　　 和是的两个交点

　　 根据图象可知：当或或时，

　　　　　　　　 　 当时，

　　　　　　　　 　 当时，