24． 如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是弧ABC中点，弦DE⊥AB，垂足为F，DE交AC于点G.

(1)图中有哪些相等的线段？(要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所作的辅助线不能出现在结论中，不写出推理过程)

(2)若过点E作⊙O的切线ME，交AC的延长线于点M(请补完整图形)，试问：ME=MG是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

(3)在满足第(2)问的条件下，已知AF=3，FB=，求AG与GM的比.[第(1)的结论可直接利用]

17、(本小题满分10分)

解：(1)设点P的坐标为，则

PM＝;

又因为点P到直线的距离为，

所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线相切．　　　　　 (得4分)

(2)如图，分别过点P，Q作直线的垂线，垂足分别为H，R．由(1)知，PH＝PM，同理可得，QM＝QR．

因为PH，MN，QR都垂直于直线，所以，PH∥MN∥QR，于是

　　　　　　　　　　　 　，

所以　　　　　　　　　　 ，

因此，Rt△∽Rt△．

于是，从而_(得6分)

17．(本小题满分10分)．已知点M，N的坐标分别为(0，1)，(0，－1)，点P是抛物线上的一个动点．(1)求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线的相切；

(2)设直线PM与抛物线的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：．

24．(1)t=　　 (3分)

　　　　　 (2)OC=CP　　　 (4分)

　　　　　 过点C作X轴的平行线，交OA与直线BP于点T、H，

证△OTC≌△CHP即可　　　　　　　　　 (7分)

(3)①(0≤t≤1)　　　　　 (10分)

②当t=0或1时，△PBC为等腰三角形，

即P(1.1), P(1，1－)　　　　 (12分 )

24.如图，点A在Y轴上，点B在X轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线L交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线X=1相交于点P，现将直线L绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在第一象限内，并记AC的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究：

(1)当△AOC和△BCP全等时，求出t的值。

(2)通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系？并证明你得到的结论。

(3)①设点P的坐标为(1,b),试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围。②求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标。

24．(本题满分12分)

如图①、②、③是两个半径都等于2的⊙O₁和⊙O₂，由重合状态沿水平方向运动到互相外切过程中的三个位置，⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，分别连结O₁A、O₁B、O₂A、O₂B和AB。

(1)如图②，当∠AO₁B=120°时，求两圆重叠部分图形的周长l；(4分)

(2)设∠AO₁B的度数为x，两圆重叠部分图形的周长为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(4分)

(3)由(2)，若y=2x，则线段O₂A所在的直线与⊙O₁有何位置关系？为什么？除此之外，它们还有其它的位置关系，写出其它位置关系时x的取值范围。(4分)

23、解：　 (1)在矩形OABC中，设OC=x　 则OA= x+2，依题意得

　　　 　　　　　解得：

　　 (不合题意，舍去)　　 ∴OC=3，　 OA=5　　　 　　…　 (4分)

(只要学生写出OC＝3，OA＝5即给2分)

　 (2)连结O′D　　 在矩形OABC中，OC=AB，∠OCB=∠ABC=90，CE=BE=　

∴ △OCE≌△ABE　 ∴EA=EO　　 ∴∠1=∠2

　 在⊙O′中，　 ∵ O′O= O′D　　　 ∴∠1=∠3

　∴∠3=∠2　　　 ∴O′D∥AE，　　

　∵DF⊥AE　　 ∴ DF⊥O′D

　 又∵点D在⊙O′上，O′D为⊙O′的半径 ，

　 ∴DF为⊙O′切线。　　 …　 (8分)

(3)　　　 不同意. 理由如下:

25　　 当AO=AP时，

以点A为圆心，以AO为半径画弧交BC于P₁和P₄两点

过P₁点作P₁H⊥OA于点H，P₁H = OC = 3，∵A P₁= OA = 5

∴A H = 4， ∴OH =1　　 求得点P₁(1，3)　　 同理可得：P₄(9，3)　 …… (9分)

②当OA=OP时，

同上可求得:：P₂(4，3)，P₃(4，3) 　　　　　　　　　…… (11分)

因此，在直线BC上，除了E点外，既存在⊙O′内的点P₁，又存在⊙O′外的点P₂、P₃、P₄，它们分别使△AOP为等腰三角形。　　　　　　　　　　　 …… (12分)

23．(本题满分11分)

如图16，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2．E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F．

(1)　　　 求OA、OC的长；

(2)　 求证：DF为⊙O′的切线；

(3)　　　 小明在解答本题时，发现△AOE是等腰三角形．由此，他断定：“直线BC上一定存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形，且点P一定在⊙O′外”．你同意他的看法吗？请充分说明理由．

解：

24、解：(1)由已知条件，得：n²－1=0

解这个方程，得： n₁=1 ，n₂=－1；

当n=1时，得y=x²+x，此抛物线的顶点不在第四象限；

当n=－1时，得y=x²－3x，此抛物线的顶点在第四象限；

　　 ∴所求的函数关系式为y=x²－3x　　　　　　　　 ……　 (4分)

(2)由y=x²－3x，令y=0，得x²－3x=0，解得x₁=0 ，x₂=3；

∴抛物线与x 轴的另一个交点为(3，0)

∴它的顶点为()，对称轴为直线x=

　①∵BC=1，由抛物线和矩形的对称性易知OB=

∴B(1，0)

∴点A的横坐标x=1，又点A在抛物线y=x²－3x上，

∴点A的纵坐标y=1²－3×1=－2。

∴AB=|y |=2

　　　 ∴矩形ABCD的周长为：2(AB+BC)=6　　 ……　 (8分)

②∵点A在抛物线y=x²－3x上，可以设A点的坐标为(x，x²－3x)，

∴B点的坐标为 (x，0)。(0＜x＜

∴BC=3－2x，A在x 轴的下方，

∴x²－3x＜0

∴AB=| x²－3x |=3x－x²

∴矩形ABCD的周长P=2((3x－x²)+(3-2x))=－2(x－)²+

∵a=－2＜0

　　 　∴当x=时， 矩形ABCD的周长P最大值是。 ……　 (12分)

24．(本题满分12分)

已知抛物线y=x²+(2n-1)x+n²-1 (n为常数).

(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；

(2)设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C.

　　 ①当BC=1时，求矩形ABCD的周长；

　　 ②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由