5.坐标变换

　坐标变换　 在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做 坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点 的坐标与曲线的方程.

　坐标轴的平移　 坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫 做坐标轴的平移，简称移轴.

　坐标轴的平移公式　 设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是(x,y)，在新坐标系x ′O′y′中的坐标是(x′,y′).设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则

　(1)　　　　 或　　　 (2)

　公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式.

　中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程

　中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表.

方　　 程	焦　 点	焦　 线	对称轴
椭 　 　圆		(±c+h,k)	x=±+h	x=h 　y=k
	(h,±c+k)	y=±+k	x=h 　y=k
双曲线		(±c+h,k)	y=±+k	x=h 　y=k
	(h,±c+k)	y=±+k	x=h 　y=k
抛物线	(y-k)2=2p(x-h)	(+h,k)	x=-+h	y=k
(y-k)2=-2p(x-h)	(-+h,k)	x=+h	y=k
(x-h)2=2p(y-k)	(h, +k)	y=-+k	x=h
(x-h)2=-2p(y-k)	(h,- +k)	y=+k	x=h

4.圆锥曲线的统一定义

　平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.

　其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率.

　当0＜e＜1时，轨迹为椭圆

　当e=1时，轨迹为抛物线

　当e＞1时，轨迹为双曲线

3.椭圆、双曲线和抛物线

椭圆、双曲线和抛物线的基本知识见下表.

2.圆

　圆的定义

　点集：{M｜｜OM｜=r}，其中定点O为圆心，定长r为半径.

　圆的方程

　(1)标准方程

　圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是

　(x-a)²+(y-b)²=r²

　圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是

　x²+y²=r²

　(2)一般方程

　当D²+E²-4F＞0时，一元二次方程

　x²+y²+Dx+Ey+F=0

　叫做圆的一般方程，圆心为(-,-)，半径是.配方，将方程x²+y²+Dx+Ey+F=0化为

　(x+)²+(y+)²=

　当D²+E²-4F=0时，方程表示一个点

　(-,-);

　当D²+E²-4F＜0时，方程不表示任何图形.

　点与圆的位置关系　 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x₀,y₀)，则

　｜MC｜＜r点M在圆C内，

　　 　　　　　　　　　　　　｜MC｜=r点M在圆C上，

　　　　　　 ｜MC｜＞r点M在圆C内，

　其中｜MC｜=.

　(3)直线和圆的位置关系

　①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系

　直线与圆相交?有两个公共点

　直线与圆相切?有一个公共点

　直线与圆相离?没有公共点

　②直线和圆的位置关系的判定

　(i)判别式法

　(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=与半径r的大小关系来判定.

1.方程的曲线

　在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：

　(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

　(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫 做方程的曲线.

　点与曲线的关系　 若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P₀(x₀,y₀)在曲线C上f(x₀,y₀)=0；

　点P₀(x₀,y₀)不在曲线C上f(x₀,y₀)≠0

　两条曲线的交点　 若曲线C₁，C₂的方程分别为f₁(x,y)=0,f₂(x,y)=0,则

　点P₀(x₀,y₀)是C₁，C₂的交点

　方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有 交点.

4.了解用坐标法研究几何问题的思想，初步掌握利用方程研究曲线性质的方法.

3.理解坐标变换的意义，掌握利用坐标轴平移化简圆锥曲线方程的方法.

2.掌握圆锥曲线的标准方程及其几何性质，并根据所给的条件画圆锥曲线，了解圆锥曲线的 一些实际应用.

1.掌握直角坐标系中的曲线与方程的关系和轨迹的概念，能够根据所给条件，选择适当的直 角坐标系求曲线的方程，并画出方程所表示的曲线.

8.已知圆C:x²+(y-1)²=5,直线l:mx-y+1=0，

(1)求证：对m∈R,直线l与圆C总有两个不同交点；

(2)设l与圆C交于A、B两点，若|AB|=，求l的倾斜角；

(3)求弦AB的中点M的轨迹方程.