2、证明一员二次方程ax²+bx+c=0有两异号实数根的条件是a和c异号

1、X,Y∈R,求证 |x + y|=|X| + |Y|的充要条件是XY ㄒ 0

练习：当且仅当取什么整数值时，关于的一元二次方程和的根都是整数．

四、作业：

     反之，0<a≤1，则△=4-4a≥0，二次方程ax²+2x+1=0有实数根；设f(x)=ax²+2x+1，<0,f(0)= 1>0,f(x)= ax²+2x+1的两个零点都在y轴左侧，二次方程ax²+2x+1=0有两负实数根

总之：二次方程ax²+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是0<a≤1

说明：寻找p的充要条件的题一般步骤为：

S1:由p导出一个尽可能比较简单的条件q

S2:猜想此条件q是p成立的充要条件

S3：由q导p,如果能导出，断言，p的充要条件是q；否则加条件a可以导出p,此时p的充要条件为p+a

a<0,故二次方程ax²+2x+1=0至少有一个负根，则0<a≤1

     猜想：二次方程ax²+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是0<a≤1

     证明：由解答过程知二次方程ax²+2x+1=0至少有一个负根，则0<a≤1

例2、找二次方程ax²+2x+1=0至少有一个负根的充要条件，并证明

解：二次方程ax²+2x+1=0有根的条件是△=4-4a≥0即a≤1，设f(x)= ax²+2x+1无负根的条件为

练习2：在三棱锥中，，求证：的充要条件是平面平面．

S1:从pq或qp中选一熟悉的证明

S2:证明S1中的逆命题

S3:总之p的充要条件是q

练习1：求证关于x的二次方程有一个根x=1的充要条件是a+b+c=0

+2a+b²=0, 约掉b²去分母得b²+2a(c-a)+(c-a)²=0,a²=b²+c²      ∴∠A=90⁰

     ②∠A=90⁰∴b²=a²-c²,由(1)两方程公共解为-a-c,代入检验知成立，从而方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0有公共根-a-c

总之，由①②知方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0有公共根的充要条件是∠A=90⁰

说明：一般地，证明“p的充要条件是q”的步骤为：

   (1)-(2)得2(a-x)x₀+2b²=0          ∴x₀=代入(1)有