9.12　 球

●知识梳理

2.理解多面体、正多面体、凸多面体的概念，熟悉五种正多面体.

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教学点睛

学习本节要使学生理解多面体、正多面体的概念.

拓展题例

[例1] 正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，异面直线CD₁和BC₁所成的角是

A.60°　　 　　　　　　　　　 B.45°　　 　　　　　　　　　 C.90°　　 　　　　　　　　　 D.120°

解析：连结D₁A₁、AC，知△ACD₁是等边三角形，且D₁A∥BC₁，所以BC₁与CD₁所成的角是60°.

答案：A

[例2] 边长为a的正三角形，要拼接成一个正三棱柱且不剩料，应如何设计?(在图中用虚线画出)

解：设O为△ABC的中心，连结OA、OB、OC，并设OA、OB、OC的中点分别为A₁、B₁、C₁，过A₁、B₁、C₁分别向三边作垂线，则所得三个矩形即为三个侧面，三个角上的小四边形拼在一起即为上底面.

[变式] △ABC若为一般三角形，又如何拼接？

[例3] 如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱A₁B₁和B₁C₁的中点.

(1)求二面角B₁-BF-E的大小.

(2)求点D到平面BEF的距离.

(3)能否在棱B₁B上找到一点M，使DM⊥面BEF？若能，请确定点M的位置；若不能，请说明理由.

解：(1)过B₁作B₁G⊥BF于G，连结EG，则由EB₁⊥面B₁BCC₁，可知EG⊥BF.

∴∠B₁GE是二面角B₁-BF-E的平面角.

在Rt△BB₁F中，B₁B=a，B₁F=，

∴BF==a，

B₁G=== a.

在Rt△B₁GE中，B₁E=，B₁G=a，

∴tan∠B₁GE===.

∴∠B₁GE=arctan.

故二面角B₁-BF-E的大小为arctan.

(2)连结B₁D₁与EF交于N，

则EF⊥B₁D₁.又BB₁⊥EF，

∴EF⊥面BB₁D₁D.又EF面BEF，

∴面BEF⊥面BB₁D₁D，且面BEF∩面BB₁D₁D=BN.

过D作DH⊥BN于H，则DH⊥面BEF.

∴DH的长即为点D到面BEF的距离.

在矩形BB₁D₁D中，

易证△BDH∽△NBB₁，

∴=，DH===a.故点D到面BEF的距离为a.

(3)在平面BB₁D₁D中，延长DH交BB₁于M，由(2)，DH⊥面BEF，

∴DM⊥面BEF.

由△BDM∽△B₁BN，有=，

∴BM===.

则M为BB₁的中点.

故在棱BB₁上可找到点M，使DM⊥面BEF，此时M为BB₁的中点.

1.割补法是求多面体体积的常用方法.

5.(2003年烟台诊断性测试)(B)正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，且AC与BD交于点O，E为棱DD₁的中点，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示.

(1)求证：B₁O⊥平面EAC；

(2)若点F在EA上且B₁F⊥AE，试求点F的坐标；

(3)求二面角B₁-EA-C的正弦值.

(1)证明：由题设知下列各点的坐标：

A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，E(0，2，1)，B₁(2，0，2).

由于O是正方形ABCD的中心，

∴O(1，1，0).

∴ =(－1，1，－2)，=(2，2，0)，=(0，2，1).

∴·=(－1，1，－2)·(2，2，0)=－1·2+1·2－2·0=0，

·=(－1，1，－2)·(0，2，1)=－1·0+1·2－2·1=0.

∴⊥，⊥.

∴B₁O⊥平面ACE.

(2)解：设点F的坐标为F(0，y，z)，则 =(－2，y，z－2)，

∵⊥，

∴·=(－2，y，z－2)·(0，2，1)=2y+z－2=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

又∵点F在AE上，∴ =λ(λ∈R).

又=(0，y，z)，

∴(0，y，z)=λ(0，2，1)=(0，2λ，λ).

于是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

由①②可得λ=，y=，z=，

∴F(0，，).

(3)解：∵B₁O⊥平面EAC，B₁F⊥AE，连结OF，由三垂线定理的逆定理得OF⊥AE，

∴∠OFB₁即为二面角B₁-EA-C的平面角.

∵||==，

又=(－2，，－)，

∴||==.

在Rt△B₁OF中，sin∠B₁FO==.

故二面角B₁-EA-C的正弦值为.

●思悟小结

4.(文)已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，O为AC与BD的交点，M为DD₁的中点.

(1)求证：直线B₁O⊥平面MAC；

(2)求二面角B₁-MA-C的大小.

(1)证明：∵BB₁⊥平面ABCD，OB⊥AC，

∴B₁O⊥AC.

连结MO、MB₁，则MO=，B₁O=，MB₁=3.

∵MO²+B₁O²=MB₁²，∴∠MOB₁=90°.

∴B₁O⊥MO.

∵MO∩AC=O，∴B₁O⊥平面MAC.

(2)解：作ON⊥AM于点N，连结B₁N.

∵B₁O⊥平面MAC，∴AM⊥平面B₁ON.

∴B₁N⊥AM.

∴∠B₁NO就是二面角B₁-MA-C的平面角.

∵AM=，CM=，∴AM=CM.

又O为AC的中点，∴OM⊥AC.则ON=OAsin∠MAO== .

在Rt△B₁ON中，tan∠B₁NO==，

∴∠B₁NO=arctan，即所求二面角的大小为arctan.

说明：本题的两问是递进式的，第(1)问是为第(2)问作铺垫的.第(2)问中构造二面角的平面角的方法是典型的三垂线法.

(理)在边长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为AB与C₁D₁的中点.

(1)求证：四边形A₁ECF是菱形；

(2)求证：EF⊥平面A₁B₁C；

(3)求A₁B₁与平面A₁ECF所成角的正切值.

(1)证明：取A₁B₁的中点G，连结C₁G、GE.

∵A₁G∥FC₁且A₁G=FC₁，∴A₁GC₁F是平行四边形.∴A₁F∥C₁G.同理C₁G∥CE.∴A₁F∥CE.由勾股定理算得A₁E=A₁F=CE=CF=a，∴四边形A₁ECF是菱形.

(2)证明：连结C₁B，∵E、F分别为AB与C₁D₁的中点，∴C₁F=BE.又C₁F∥BE，

∴C₁FEB为平行四边形.∴C₁B∥EF.而C₁B⊥B₁C，∴EF⊥B₁C.又四边形A₁ECF是菱形，∴EF⊥A₁C.∴EF⊥面A₁B₁C.

(3)解：由(2)知，EF⊥平面A₁B₁C，又EF平面A₁ECF，∴平面A₁B₁C⊥平面A₁ECF.∴B₁在平面A₁ECF上的射影在线段A₁C上.∴∠B₁A₁C就是A₁B₁与平面A₁ECF所成的角.

∵A₁B₁⊥B₁C，在Rt△A₁B₁C中，tan∠B₁A₁C==.∴A₁B₁与平面A₁ECF所成角的正切值为.

探究创新

3.四面体的一条棱长是x，其他各条棱长为1.

(1)把四面体的体积V表示为x的函数f(x)；

(2)求f(x)的值域；

(3)求f(x)的单调区间.

解：(1)设BC=x，则S到平面ABC的垂足O是△ABC的外心，连结AO并延长交BC于D，则D是BC的中点，且AD⊥BC，求得AD=，S=.

设△ABC的外接圆的半径为R，求得R=，SO=，

∴V=S·SO=(0＜x＜).

(2)f(x)== =，

∵0＜x²＜3，∴f(x)∈(0，).

(3)∵当x=时，f(x)取得最大值，

又∵0＜x＜，∴f(x)的单调递增区间是(0，］，递减区间是［，).

2.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为正方形ABCD的中心，E、F分别为AB、BC的中点，则异面直线C₁O与EF的距离为_____________.

答案：

培养能力

1.每个顶点处棱都是3条的正多面体共有

A.2种　　 　　　　　　　　　 B.3种　　 　　　　　　　　　 C.4种　　 　　　　　　　　　 D.5种

解析：正多面体只有5种.

答案：B

3.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是A₁B₁、BB₁的中点，则直线AM与CN所成的角的余弦值是_____________.

解析：过N作NP∥AM交AB于点P，连结C₁P，解三角形即可.

答案：

●典例剖析

[例1] 已知甲烷CH₄的分子结构是中心一个碳原子，外围有4个氢原子(这4个氢原子构成一个正四面体的四个顶点).设中心碳原子到外围4个氢原子连成的四条线段两两组成的角为θ，则cosθ等于

A.－　　 　　　　　　　　 B. 　　　　　　　　　　　 C.－ 　　　　　　　　　　 D.

解析：将正四面体嵌入正方体中，计算易得

cosθ==－(设正方体的棱长为2).

答案：A

[例2] 试求正八面体二面角的大小及其两条异面棱间的距离.

解：如图，设正八面体的棱长为4a，以中心O为原点，对角线DB、AC、QP为x轴、y

轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0，－2a，0)、B(2a，0，0)、C(0，2a，0)、P(0，0，2a)，设E为BC的中点，连结PE、QE、OE，则∠PEQ=2∠PEO即为所求二面角的平面角，∵OE=2a，OP=2a，∴tan∠PEO=，∠PEQ=2arctan.设n=(x，y，z)是AB与PC的公垂线的一个方向向量，则有n·=x+y=0，n·=y－z=0，解得

n=(－1，1，1)，所以向量=(－2a，2a，0)在n上的射影长d==即为所求.

特别提示

由于正多面体中的等量关系、垂直关系比较多，所以便于建立直角坐标系，运用解析法处理.要注意恰当选取坐标原点，一般取其中心或顶点(如正四棱柱).

[例3] 三个12×12 cm的正方形，如图，都被连结相邻两边中点的直线分成A、B两片(如图(1))，把6片粘在一个正六边形的外面(如图(2))，然后折成多面体(如图(3))，求此多面体的体积.

解法一： 补成一个正方体，如图甲，V=V_正方体­=×12³=864 cm³.

甲　　　　　　　　　 乙

解法二：补成一个三棱锥，如图乙，V=V_大三棱锥－3V_小三棱锥=864 cm³.

思考讨论

补形的方法可将不规则的几何体转化成规则的几何体，这是求多面体体积的常用方法.

●闯关训练

夯实基础

2.正多面体只有_____________种，分别为________________.

答案：5　 正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体