6.设两向量e₁、e₂满足|e₁|=2，|e₂|=1，e₁、e₂的夹角为60°，若向量2te₁+7e₂与向量e₁+te₂的夹角为钝角，求实数t的取值范围.

解：e₁²=4，e₂²=1，e₁·e₂=2×1×cos60°=1，

∴(2te₁+7e₂)·(e₁+te₂)=2te₁²+(2t²+7)e₁·e₂+7te₂²=2t²+15t+7.∴2t²+15t+7＜0.

∴－7＜t＜－.设2te₁+7e₂=λ(e₁+te₂)(λ＜0)2t²=7t=－，

∴λ=－.

∴当t=－时，2te₁+7e₂与e₁+te₂的夹角为π.

∴t的取值范围是(－7，－)∪(－，－).

思考讨论

向量a、b的夹角为钝角，则cos〈a，b〉＜0，它们互为充要条件吗?

培养能力

5.l₁、l₂是不共线向量，且a=－l₁+3l₂，b=4l₁+2l₂，c=－3l₁+12l₂，若b、c为一组基底，求向量a.

解：设a=λ₁b+λ₂c，即－l₁+3l₂=λ₁(4l₁+2l₂)+λ₂(－3l₁+12l₂)，

即－l₁+3l₂=(4λ₁－3λ₂)l₁+(2λ₁+12λ₂)l₂，

∴

解得λ₁=－，λ₂=，故a=－b+c.

4.设四边形ABCD中，有=且||=||，则这个四边形是

A.平行四边形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.矩形

C.等腰梯形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.菱形

解析：∵=，∴DC∥AB，且DC≠AB.又||=||，∴四边形为等腰梯形.

答案：C

3.在四边形ABCD中，－－等于

A.　　　　　　　　　　　　 B.　　　　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　　　　 D.

解析：－－=－=+=.

答案：C

2.若a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则有

A.a∥b且a、b方向相同　　　　　　　　　　　　　　　　 B.a=b

C.a=－b　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.以上都不对

解析：a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，∴a∥b且方向相同.

答案：A

1.(2004年广东，1)已知平面向量a=(3，1)，b=(x，－3)且a⊥b，则x等于

A.3　　　　　　　　　　　　　　　 B.1　　　　　　　　　　　　　　　 C.－1　　　　　　　　　　　　　 D.－3

解析：由a⊥b，则3x－3=0，∴x=1.

答案：B

5.若a=“向东走8 km”，b=“向北走8 km”，则｜a+b|=_______，a+b的方向是_______.

解析：|a+b|==8(km).

答案：8 km　 东北方向

●典例剖析

[例1] 已知向量a、b满足|a|=1，|b|=2，|a－b|=2，则|a+b|等于

A.1　　　　　　　　　　　　　　　 B.　　　　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　　　　 D.

剖析：欲求|a+b|，一是设出a、b的坐标求，二是直接根据向量模计算.

解法一：设a=(x₁，y₁)，b=(x₂，y₂)，则x₁²+y₁²=1，x₂²+y₂²=4，a－b=(x₁－x₂，y₁－y₂)，

∴(x₁－x₂)²+(y₁－y₂)²=4.

∴x₁²－2x₁x₂+x₂²+y₁²－2y₁y₂+y₂²=4.

∴1－2x₁x₂－2y₁y₂=0.∴2x₁x₂+2y₁y₂=1.

∴(x₁+x₂)²+(y₁+y₂)²=1+4+2x₁x₂+2y₁y₂=5+1=6.

∴|a+b|=.

解法二：∵|a+b|²+|a－b|²=2(|a|²+|b|²)，

∴|a+b|²=2(|a|²+|b|²)－|a－b|²

=2(1+4)－2²=6.

∴|a+b|=.故选D.

深化拓展

此题也可以利用“解斜三角形”的方法进行处理.

[例2] 如图，G是△ABC的重心，求证：++=0.

剖析：要证++=0，只需证+=－，即只需证+与互为相反的向量.

证明：以向量、为邻边作平行四边形GBEC，则+==2.又由G为△ABC的重心知

=2，从而=－2.

∴++=－2+2=0.

评述：向量的加法可以用几何法进行.正确理解向量的各种运算的几何意义，能进一步加深对“向量”的认识，并能体会用向量处理问题的优越性.

深化拓展

此题也可用向量的坐标运算进行证明.

[例3] 设、不共线，点P在AB上，求证：=λ+μ且λ+μ=1，λ、μ∈R.

剖析：∵点P在AB上，可知与共线，得=t.再用以O为起点的向量表示.

证明：∵P在AB上，∴与共线.

∴=t.∴－=t(－).

∴=+t－t=(1－t)+t.

设1－t=λ，t=μ，则=λ+μ且λ+μ=1，λ、μ∈R.

评述：本例的重点是考查平面向量的基本定理，及对共线向量的理解及应用.

深化拓展

①本题也可变为，不共线，若=λ+μ，且λ+μ=1，λ∈R，μ∈R，求证：A、B、P三点共线.

提示：证明与共线.

②当λ=μ=时，=(+)，此时P为AB的中点，这是向量的中点公式.

[例4] 若a、b是两个不共线的非零向量(t∈R).

(1)若a与b起点相同，t为何值时，a、tb、(a+b)三向量的终点在一直线上?

(2)若|a|=|b|且a与b夹角为60°，那么t为何值时，|a－tb|的值最小?

解：(1)设a－tb=m［a－(a+b)］(m∈R)，

化简得(－1)a=(－t)b.

∵a与b不共线，

∴

∴t=时，a、tb、(a+b)的终点在一直线上.

(2)|a－tb|²=(a－tb)²=|a|²+t²|b|²－2t|a||b|cos60°=(1+t²－t)|a|²，∴t=时，|a－tb|有最小值|a|.

评述：用两个向量共线的充要条件，可解决平面几何中的平行问题或共线问题.

思考讨论

两个向量共线与两条线段在一条直线上是否一样?

●闯关训练

夯实基础

4.e₁、e₂是不共线的向量，a=e₁+ke₂，b=ke₁+e₂，则a与b共线的充要条件是实数k等于

A.0　　　　　　　　　　　　　　　 B.－1　　　　　　　　　　　　　 C.－2　　　　　　　　　　　　　 D.±1

解析：a与b共线存在实数m，使a=mb，

即e₁+ke₂=mke₁+me₂.又e₁、e₂不共线，

∴∴k=±1.

答案：D

3.若ABCD为正方形，E是CD的中点，且=a，=b，则等于

A.b+a　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.b－a

C.a+b　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.a－b

解析：=－=+－=+－=b－a.

答案：B

2.(2004年浙江，文4)已知向量a=(3，4)，b=(sinα，cosα)，且a∥b，则tanα等于

A.　　　　　　　　　　　　　　 B.－　　　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.－

解析：由a∥b，∴3cosα=4sinα.∴tanα=.

答案：A