摘要：在正方体ABCD-A1B1C1D1中.M.N分别是A1B1.BB1的中点.则直线AM与CN所成的角的余弦值是 . 解析:过N作NP∥AM交AB于点P.连结C1P.解三角形即可. 答案: ●典例剖析 [例1] 已知甲烷CH4的分子结构是中心一个碳原子.外围有4个氢原子(这4个氢原子构成一个正四面体的四个顶点).设中心碳原子到外围4个氢原子连成的四条线段两两组成的角为θ.则cosθ等于 A.- B. C.- D. 解析:将正四面体嵌入正方体中.计算易得 cosθ==-. 答案:A [例2] 试求正八面体二面角的大小及其两条异面棱间的距离. 解:如图.设正八面体的棱长为4a.以中心O为原点.对角线DB.AC.QP为x轴.y 轴.z轴建立空间直角坐标系.则A(0.-2a.0).B(2a.0.0).C(0.2a.0).P(0.0.2a).设E为BC的中点.连结PE.QE.OE.则∠PEQ=2∠PEO即为所求二面角的平面角.∵OE=2a.OP=2a.∴tan∠PEO=.∠PEQ=2arctan.设n=(x.y.z)是AB与PC的公垂线的一个方向向量.则有n·=x+y=0.n·=y-z=0.解得 n=.所以向量=(-2a.2a.0)在n上的射影长d==即为所求. 特别提示 由于正多面体中的等量关系.垂直关系比较多.所以便于建立直角坐标系.运用解析法处理.要注意恰当选取坐标原点.一般取其中心或顶点. [例3] 三个12×12 cm的正方形.如图.都被连结相邻两边中点的直线分成A.B两片.把6片粘在一个正六边形的外面.然后折成多面体.求此多面体的体积. 解法一: 补成一个正方体.如图甲.V=V正方体­=×123=864 cm3. 甲 乙 解法二:补成一个三棱锥.如图乙.V=V大三棱锥-3V小三棱锥=864 cm3. 思考讨论 补形的方法可将不规则的几何体转化成规则的几何体.这是求多面体体积的常用方法. ●闯关训练 夯实基础

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