摘要：(B)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2.且AC与BD交于点O.E为棱DD1的中点.以A为原点.建立空间直角坐标系A-xyz.如图所示. (1)求证:B1O⊥平面EAC, (2)若点F在EA上且B1F⊥AE.试求点F的坐标, (3)求二面角B1-EA-C的正弦值. (1)证明:由题设知下列各点的坐标: A.B.C.D.E.B1. 由于O是正方形ABCD的中心. ∴O. ∴ =.=.=. ∴·==-1·2+1·2-2·0=0. ·==-1·0+1·2-2·1=0. ∴⊥.⊥. ∴B1O⊥平面ACE. (2)解:设点F的坐标为F(0.y.z).则 =(-2.y.z-2). ∵⊥. ∴·=(-2.y.z-2)·=2y+z-2=0. ① 又∵点F在AE上.∴ =λ(λ∈R). 又=(0.y.z). ∴(0.y.z)=λ=(0.2λ.λ). 于是 ② 由①②可得λ=.y=.z=. ∴F(0..). (3)解:∵B1O⊥平面EAC.B1F⊥AE.连结OF.由三垂线定理的逆定理得OF⊥AE. ∴∠OFB1即为二面角B1-EA-C的平面角. ∵||==. 又=(-2..-). ∴||==. 在Rt△B1OF中.sin∠B1FO==. 故二面角B1-EA-C的正弦值为. ●思悟小结

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