摘要：(文)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2.O为AC与BD的交点.M为DD1的中点. (1)求证:直线B1O⊥平面MAC, (2)求二面角B1-MA-C的大小. (1)证明:∵BB1⊥平面ABCD.OB⊥AC. ∴B1O⊥AC. 连结MO.MB1.则MO=.B1O=.MB1=3. ∵MO2+B1O2=MB12.∴∠MOB1=90°. ∴B1O⊥MO. ∵MO∩AC=O.∴B1O⊥平面MAC. (2)解:作ON⊥AM于点N.连结B1N. ∵B1O⊥平面MAC.∴AM⊥平面B1ON. ∴B1N⊥AM. ∴∠B1NO就是二面角B1-MA-C的平面角. ∵AM=.CM=.∴AM=CM. 又O为AC的中点.∴OM⊥AC.则ON=OAsin∠MAO== . 在Rt△B1ON中.tan∠B1NO==. ∴∠B1NO=arctan.即所求二面角的大小为arctan. 说明:本题的两问是递进式的.第问作铺垫的.第(2)问中构造二面角的平面角的方法是典型的三垂线法. (理)在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中.E.F分别为AB与C1D1的中点. (1)求证:四边形A1ECF是菱形, (2)求证:EF⊥平面A1B1C, (3)求A1B1与平面A1ECF所成角的正切值. (1)证明:取A1B1的中点G.连结C1G.GE. ∵A1G∥FC1且A1G=FC1.∴A1GC1F是平行四边形.∴A1F∥C1G.同理C1G∥CE.∴A1F∥CE.由勾股定理算得A1E=A1F=CE=CF=a.∴四边形A1ECF是菱形. (2)证明:连结C1B.∵E.F分别为AB与C1D1的中点.∴C1F=BE.又C1F∥BE. ∴C1FEB为平行四边形.∴C1B∥EF.而C1B⊥B1C.∴EF⊥B1C.又四边形A1ECF是菱形.∴EF⊥A1C.∴EF⊥面A1B1C. 知.EF⊥平面A1B1C.又EF平面A1ECF.∴平面A1B1C⊥平面A1ECF.∴B1在平面A1ECF上的射影在线段A1C上.∴∠B1A1C就是A1B1与平面A1ECF所成的角. ∵A1B1⊥B1C.在Rt△A1B1C中.tan∠B1A1C==.∴A1B1与平面A1ECF所成角的正切值为. 探究创新

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