1.直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.

3.注意用好以下数学思想、方法：

①方程思想；②函数思想；③对称思想；④参数思想；⑤转化思想；⑥分类思想.

除上述几种常用数学思想外，整体思想、数形结合思想、主元分析思想、正难则反思想、构造思想等也是解析几何解题中不可缺少的思想方法.在复习中必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算能力.

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教学点睛

本节是圆锥曲线的综合应用，主要是曲线方程的运用、变量范围的计算、最值的确定等，解决这类问题的关键是依据解析几何本身的特点，寻找一个突破口，那么如何找到解决问题的突破口呢？

(1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系.(2)建立目标函数，转化为求函数的最值问题.(3)利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思.(4)结合参数方程，利用三角函数的有界性.直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式.因此，它们的应用价值在于：①通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题.　　 (5)构造一个二次方程，利用判别式Δ≥0.

拓展题例

[例1] (2005年启东市第二次调研题)抛物线y²=4px(p>0)的准线与x轴交于M点，过点M作直线l交抛物线于A、B两点.

(1)若线段AB的垂直平分线交x轴于N(x₀，0)，求证：x₀>3p；

(2)若直线l的斜率依次为p，p²，p³，…，线段AB的垂直平分线与x轴的交点依次为N₁，N₂，N₃，…，当0<p<1时，求++…+的值.

(1)证明：设直线l方程为y=k(x+p)，代入y²=4px.

得k²x²+(2k²p－4p)x+k²p²=0.

Δ=4(k²p－2p)²－4k²·k²p²>0，

得0<k²<1.

令A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，则x₁+x₂=－，y₁+y₂=k(x₁+x₂+2p)=，

AB中点坐标为(，).

AB垂直平分线为y－=－(x－).

令y=0，得x₀==p+.

由上可知0<k²<1，∴x₀>p+2p=3p.

∴x₀>3p.

(2)解：∵l的斜率依次为p，p²，p³，…时，AB中垂线与x轴交点依次为N₁，N₂，N₃，…(0<p<1).

∴点N_n的坐标为(p+，0).

|N_nN_n+1|=|(p+)－(p+)|=，

=，

所求的值为［p³+p⁴+…+p²¹］=.

[例2] (2003年南京市模拟题)已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)，B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足||、||、||成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P.

(1)求证：·=·；

(2)若l与双曲线C的左、右两支分别相交于点D、E，求双曲线C的离心率e的取值范围.

(1)证法一：

l：y=－(x－c).

y=－(x－c)，

y=x.

解得P(，).∵||、||、||成等比数列，∴A(，0).

∴=(0，－)，=(，)，

=(－，).

∴·=－，·=－.

∴·=·.

证法二：同上得P(，).

∴PA⊥x轴，

·－·=·=0.

∴·=·.

b²x²－a²y²=a²b².

∴b²x²－(x－c)²=a²b²，

即(b²－)x²+2cx－(+a²b²)=0.

∵x₁·x₂=＜0，

∴b⁴＞a⁴，

即b²＞a²，c²－a²＞a².

∴e²＞2，即e＞.

2.四点重视：①重视定义在解题中的作用；②重视平面几何知识在解题中的简化功能；③重视根与系数关系在解题中的作用；④重视曲线的几何特征与方程的代数特征的统一.

1.客观题求解时应注意画图，抓住涉及到的一些元素的几何意义，用数形结合法去分析解决.

9.(2005年春季上海，22)(1)求右焦点坐标是(2，0)，且经过点(－2，－)的椭圆的标准方程.

(2)已知椭圆C的方程是+=1(a>b>0).设斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M.证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上.

(3)利用(2)所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.

(1)解：设椭圆的标准方程为+=1，a>b>0，

∴a²=b²+4，即椭圆的方程为+=1.

∵点(－2，－)在椭圆上，

∴+=1.

解得b²=4或b²=－2(舍).

由此得a²=8，即椭圆的标准方程为+=1.

(2)证明：设直线l的方程为y=kx+m，

与椭圆C的交点A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，

　　　 y=kx+m，

解得(b²+a²k²)x²+2a²kmx+a²m²－a²b²=0.

∵Δ>0，∴m²<b²+a²k²，

即－<m<.

则x₁+x₂=－，y₁+y₂=kx₁+m+kx₂+m=，

∴AB中点M的坐标为(－，).

∴线段AB的中点M在过原点的直线b²x+a²ky=0上.

(3)解：如下图，作两条平行直线分别交椭圆于A、B和C、D，并分别取AB、CD的中点M、N，连结直线MN；又作两条平行直线(与前两条直线不平行)分别交椭圆于A₁、B₁和C₁、D₁，并分别取A₁B₁、C₁D₁的中点M₁、N₁，连结直线M₁N₁，那么直线MN和M₁N₁的交点O即为椭圆中心.

●思悟小结

在知识的交汇点处命题，是高考命题的趋势，而解析几何与函数、三角、数列、向量等知识的密切联系，正是高考命题的热点，为此在学习时应抓住以下几点：

8.(2003年北京东城区模拟题)从椭圆+=1(a＞b＞0)上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F₁，且它的长轴右端点A与短轴上端点B的连线AB∥OM.

(1)求椭圆的离心率；

(2)若Q是椭圆上任意一点，F₂是右焦点，求∠F₁QF₂的取值范围；

(3)过F₁作AB的平行线交椭圆于C、D两点，若|CD|=3，求椭圆的方程.

解：(1)由已知可设M(－c，y)，

则有+=1.

∵M在第二象限，∴M(－c，).

又由AB∥OM，可知k_AB=k_OM.

∴－=－.∴b=c.∴a=b.

∴e==.

(2)设|F₁Q|=m，|F₂Q|=n，

则m+n=2a，mn＞0.|F₁F₂|=2c，a²=2c²，

∴cos∠F₁QF₂=

==－1

=－1≥－1=－1=0.

当且仅当m=n=a时，等号成立.

故∠F₁QF₂∈［0，］.

(3)∵CD∥AB，k_CD=－=－.

设直线CD的方程为y=－(x+c)，

即y=－(x+b).

y=－(x+b).

(a²+2b²)x²+2a²bx－a²b²=0.

设C(x₁，y₁)、D(x₂，y₂)，∵a²=2b²，

∴x₁+x₂=－=－=－b，

x₁·x₂=－=－=－.

∴|CD|=|x₁－x₂|

=·

=·==3.

∴b²=2，则a²=4.

∴椭圆的方程为+=1.

探究创新

7.(理)(2004年北京，17)如下图，过抛物线y²=2px(p＞0)上一定点P(x₀，y₀)　　　　　 (y₀＞0)，作两条直线分别交抛物线于A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂).

(1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离；

(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.

解：(1)当y=时，x=.

又抛物线y²=2px的准线方程为x=－，

由抛物线定义得

所求距离为－(－)=.

(2)设直线PA的斜率为k_PA，直线PB的斜率为k_PB.

由y₁²=2px₁，y₀²=2px₀，

相减得(y₁－y₀)(y₁+y₀)=2p(x₁－x₀)，

故k_PA==(x₁≠x₀).

同理可得k_PB=(x₂≠x₀).

由PA、PB倾斜角互补知k_PA=－k_PB，

即=－，所以y₁+y₂=－2y₀，

故=－2.

设直线AB的斜率为k_AB.

由y₂²=2px₂，y₁²=2px₁，

相减得(y₂－y₁)(y₂+y₁)=2p(x₂－x₁)，

所以k_AB==(x₁≠x₂).

将y₁+y₂=－2y₀(y₀＞0)代入得

k_AB==－，所以k_AB是非零常数.

(文)如下图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)、A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)均在抛物线上.

(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；

(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y₁+y₂的值及直线AB的斜率.

解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y²=2px.∵点P(1，2)在抛物线上，

∴2²=2p·1，得p=2.

故所求抛物线的方程是y²=4x，准线方程是x=－1.

(2)设直线PA的斜率为k_PA，直线PB的斜率为k_PB.

则k_PA=(x₁≠1)，k_PB=(x₂≠1).

∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，

∴k_PA=－k_PB.

由A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)在抛物线上，得

y₁²=4x₁，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ①

y₂²=4x₂，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ②

∴=－.

∴y₁+2=－(y₂+2).∴y₁+y₂=－4.

由①－②得直线AB的斜率

k_AB===－=－1(x₁≠x₂).

6.(2003年湖北八市模拟题)已知抛物线y²=2px上有一内接正△AOB，O为坐标原点.

(1)求证：点A、B关于x轴对称；

(2)求△AOB外接圆的方程.

(1)证明：设A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，

∵|OA|=|OB|，∴x₁²+y₁²=x₂²+y₂².

又∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，

∴x₂²－x₁²+2p(x₂－x₁)=0，

即(x₂－x₁)(x₁+x₂+2p)=0.

又∵x₁、x₂与p同号，∴x₁+x₂+2p≠0.

∴x₂－x₁=0，即x₁=x₂.

由抛物线对称性，知点A、B关于x轴对称.

(2)解：由(1)知∠AOx=30°，则

y=x　　　　 y=2p.

∴A(6p，2p).

方法一：待定系数法，△AOB外接圆过原点O，且圆心在x轴上，可设其方程为x²+y²+dx=0.

将点A(6p，2p)代入，得d=－8p.

故△AOB外接圆方程为x²+y²－8px=0.

方法二：直接求圆心、半径，设半径为r，则圆心(r，0).

培养能力

5.(1)试讨论方程(1－k)x²+(3－k²)y²=4(k∈R)所表示的曲线；

(2)试给出方程+=1表示双曲线的充要条件.

解：(1)3－k²>1－k>0k∈(－1，1)，方程所表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆；　　　　 1－k>3－k²>0k∈(－，－1)，方程所表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆；1－k=3－k²>0k=－1，表示的是一个圆；(1－k)(3－k²)<0k∈(－∞，－)∪(1，)，表示的是双曲线；k=1，k=－，表示的是两条平行直线；k=，表示的图形不存在.

(2)由(k²+k－6)(6k²－k－1)<0(k+3)(k－2)(3k+1)(2k－1)<0k∈(－3，－)∪(，2).

4.(2004年全国Ⅱ，15)设中心在原点的椭圆与双曲线2x²－2y²=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是_________________.

解析：双曲线中，a==b，∴F(±1，0)，e==.∴椭圆的焦点为(±1，0)，离心率为.∴长半轴长为，短半轴长为1.

∴方程为+y²=1.

答案：+y²=1