摘要：如下图.过抛物线y2=2px(p＞0)上一定点P(x0.y0) (y0＞0).作两条直线分别交抛物线于A(x1.y1).B(x2.y2). (1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离, (2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时.求的值.并证明直线AB的斜率是非零常数. 解:(1)当y=时.x=. 又抛物线y2=2px的准线方程为x=-. 由抛物线定义得 所求距离为-(-)=. (2)设直线PA的斜率为kPA.直线PB的斜率为kPB. 由y12=2px1.y02=2px0. 相减得(y1-y0)(y1+y0)=2p(x1-x0). 故kPA==(x1≠x0). 同理可得kPB=(x2≠x0). 由PA.PB倾斜角互补知kPA=-kPB. 即=-.所以y1+y2=-2y0. 故=-2. 设直线AB的斜率为kAB. 由y22=2px2.y12=2px1. 相减得(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1). 所以kAB==(x1≠x2). 将y1+y2=-2y0(y0＞0)代入得 kAB==-.所以kAB是非零常数. (文)如下图.抛物线关于x轴对称.它的顶点在坐标原点.点P(1.2).A(x1.y1).B(x2.y2)均在抛物线上. (1)写出该抛物线的方程及其准线方程, (2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时.求y1+y2的值及直线AB的斜率. 解:(1)由已知条件.可设抛物线的方程为y2=2px.∵点P(1.2)在抛物线上. ∴22=2p·1.得p=2. 故所求抛物线的方程是y2=4x.准线方程是x=-1. (2)设直线PA的斜率为kPA.直线PB的斜率为kPB. 则kPA=(x1≠1).kPB=(x2≠1). ∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补. ∴kPA=-kPB. 由A(x1.y1).B(x2.y2)在抛物线上.得 y12=4x1. ① y22=4x2. ② ∴=-. ∴y1+2=-(y2+2).∴y1+y2=-4. 由①-②得直线AB的斜率 kAB===-=-1(x1≠x2).

网址：http://m.1010jiajiao.com/timu_id_2939914[举报]