2.如下图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线对称轴1 m，则在水池直径的下列可选值中，最合算的是

A.2.5 m　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.4 m

C.5 m　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.6 m

解析：以O为原点，OP所在直线为y轴建立直角坐标系(如下图)，则抛物线方程可设为

y=a(x－1)²+2，P点坐标为(0，1)，

∴1=a+2.∴a=－1.

∴y=－(x－1)²+2.

令y=0，得(x－1)²=2，∴x=1±.

∴水池半径OM=+1≈2.414(m).

因此水池直径约为2×|OM|=4.828(m).

答案：C

1.1998年12月19日，太原卫星发射中心为摩托罗拉公司(美国)发射了两颗“铱星”系统通信卫星.卫星运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点为m km，远地点为　 n km，地球的半径为R km，则通信卫星运行轨道的短轴长等于

A.2

B.

C.2mn

D.mn

+c=n+R， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　②

∴c=，

2b=2

=2.

答案：A

5.在相距1400 m的A、B两哨所，听到炮弹爆炸声音的时间相差3 s，已知声速340 m/s.炮弹爆炸点所在曲线的方程为________________.

解析：设M(x，y)为曲线上任一点，

则|MA|－|MB|=340×3=1020<1400.

∴M点轨迹为双曲线，且a==510，

c==700.

∴b²=c²－a²=(c+a)(c－a)=1210×190.

∴M点轨迹方程为－=1.

答案：－=1

●典例剖析

[例1] 设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此彗星离地球相距m万千米和m万千米时，经过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角分别为和，求该彗星与地球的最近距离.

剖析：本题的实际意义是求椭圆上一点到焦点的距离，一般的思路：由直线与椭圆的关系，列方程组解之；或利用定义法抓住椭圆的第二定义求解.同时，还要注意结合椭圆的几何意义进行思考.仔细分析题意，由椭圆的几何意义可知：只有当该彗星运行到椭圆的较近顶点处时，彗星与地球的距离才达到最小值即为a－c，这样把问题就转化为求a，c或a－c.

解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点F(－c，0)处，椭圆的方程为+=1，

当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为时，由椭圆的几何意义可知，彗星A只能满足∠xFA=(或∠xFA′=).

作AB⊥Ox于B，则｜FB｜=｜FA｜=m，

故由椭圆的第二定义可得

m=(－c)，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ①

m=(－c+m). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　②

两式相减得m=·m，∴a=2c.

代入①，得m=(4c－c)=c，

∴c=m.∴a－c=c=m.

答：彗星与地球的最近距离为m万千米.

评述： (1)在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个端点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是a－c，另一个是a+c.

(2)以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想.另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质.

思考讨论　　

椭圆上任一点到焦点的距离的最大值和最小值是多少？怎样证明？

提示：利用焦半径易求得最大值为a+c，最小值为a－c.

[例2] 某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处(如下图所示).已知PA=100 m，PB=150 m，∠APB=60°，试说明怎样运土最省工.

剖析：首先抽象为数学问题，半圆中的点可分为三类：(1)沿AP到P较近；(2)沿BP到P较近；(3)沿AP、BP到P同样远.

显然，第三类点是第一、二类的分界点，设M是分界线上的任意一点.则有｜MA｜+｜PA｜=｜MB｜+｜PB｜.

于是｜MA｜－｜MB｜=｜PB｜－｜PA｜=150－100=50.

从而发现第三类点M满足性质：点M到点A与点B的距离之差等于常数50，由双曲线定义知，点M在以A、B为焦点的双曲线的右支上，故问题转化为求此双曲线的方程.

解：以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系xOy，设M(x，y)是沿AP、BP运土同样远的点，则

｜MA｜+｜PA｜=｜MB｜+｜PB｜，

∴｜MA｜－｜MB｜=｜PB｜－｜PA｜=50.

在△PAB中，由余弦定理得

｜AB｜²=｜PA｜²+｜PB｜²－2｜PA｜｜PB｜cos60°=17500，且50＜｜AB｜.由双曲线定义知M点在以A、B为焦点的双曲线右支上，设此双曲线方程为－=1(a＞0，b＞0).

4c²=17500，

c²=a²+b²，

b²=3750.

∴M点轨迹是－=1(x≥25)在半圆内的一段双曲线弧.于是运土时将双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工.

评述：(1)本题是不等量与等量关系问题，涉及到分类思想，通过建立直角坐标系，利用点的集合性质，构造圆锥曲线模型(即分界线)从而确定出最优化区域.

(2)应用分类思想解题的一般步骤：①确定分类的对象；②进行合理的分类；③逐类逐级讨论；④归纳各类结果.

[例3] 根据我国汽车制造的现实情况，一般卡车高3 m，宽1.6 m.现要设计横断面为抛物线型的双向二车道的公路隧道，为保障双向行驶安全，交通管理规定汽车进入隧道后必须保持距中线0.4 m的距离行驶.已知拱口AB宽恰好是拱高OC的4倍，若拱宽为a m，求能使卡车安全通过的a的最小整数值.

剖析：根据问题的实际意义，卡车通过隧道时应以卡车沿着距隧道中线0.4 m到2 m间的道路行驶为最佳路线，因此，卡车能否安全通过，取决于距隧道中线2 m(即在横断面上距拱口中点2 m)处隧道的高度是否够3 m，据此可通过建立坐标系，确定出抛物线的方程后求得.

解：如下图，以拱口AB所在直线为x轴，以拱高OC所在直线为y轴建立直角坐标系，由题意可得抛物线的方程为x²=－2p(y－)，

∵点A(－，0)在抛物线上，

∴(－)²=－2p(0－)，得p=.

∴抛物线方程为x²=－a(y－).

取x=1.6+0.4=2，代入抛物线方程，得

2²=－a(y－)，y=.

由题意，令y＞3，得＞3，

∵a＞0，∴a²－12a－16＞0.

∴a＞6+2.

又∵a∈Z，∴a应取14，15，16，….

答：满足本题条件使卡车安全通过的a的最小正整数为14 m.

评述： 本题的解题过程可归纳为两步：一是根据实际问题的意义，确定解题途径，得到距拱口中点2 m处y的值；二是由y＞3通过解不等式，结合问题的实际意义和要求得到a的值，值得注意的是这种思路在与最佳方案有关的应用题中是常用的.

●闯关训练

夯实基础

4.探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是　 60 cm，灯深40 cm，则光源到反射镜顶点的距离是____________ cm.

解析：设抛物线方程为y²=2px(p>0)，点(40，30)在抛物线y²=2px上，

∴900=2p×40.∴p=.∴=.因此，光源到反射镜顶点的距离为 cm.

答案：

3.天安门广场，旗杆比华表高，在地面上，观察它们顶端的仰角都相等的各点所在的曲线是

A.椭圆　　　　　　　　　　　　　　　 B.圆

C.双曲线的一支　　　　　　　　　　　 D.抛物线

解析：设旗杆高为m，华表高为n，m＞n.旗杆与华表的距离为2a，以旗杆与地面的交点和华表与地面的交点的连线段所在直线为x轴、垂直平分线为y轴建立直角坐标系.设曲线上任一点M(x，y)，由题意=，即(m²－n²)x²+(m²－n²)y²－2a(m²－n²)x+　 　　　　(m²－n²)a²=0.

答案：B

2.某抛物线形拱桥的跨度是20 m，拱高是4 m，在建桥时每隔4 m需用一柱支撑，其中最长的支柱是

A.4 m　　　　　　 B.3.84 m　　　　　 C.1.48 m　　　　　　 D.2.92 m

解析：建立适当坐标系，设抛物线方程为x²=－2py(p>0)，由题意知其过定点(10，　　　 －4)，代入x²=－2py，得p=.

∴x²=－25y.当x₀=2时，y₀=，∴最长支柱长为4－|y₀|=4－=3.84(m).

答案：B

1.一抛物线型拱桥，当水面离桥顶2 m时，水面宽4 m，若水面下降1 m时，则水面宽为

A.m　　　　　 B.2m 　　　　　C.4.5 m　　　　　　 D.9 m

解析：建立适当的直角坐标系，设抛物线方程为x²=－2Py(P>0)，由题意知，抛物线过点(2，－2)，

∴4=2p×2.∴p=1.∴x²=－2y.

当y₀=－3时，得x₀²=6.

∴水面宽为2|x₀|=2.

答案：B

8.6　 圆锥曲线的应用

●知识梳理

解析几何在日常生活中应用广泛，如何把实际问题转化为数学问题是解决应用题的关键，而建立数学模型是实现应用问题向数学问题转化的常用方法.本节主要通过圆锥曲线在实际问题中的应用，说明数学建模的方法，理解函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想.

●点击双基

2.在探求轨迹的过程中，需要注意的是轨迹的“完备性”和“纯粹性”，也就是说既不能多，也不能少，因此，在求得轨迹方程之后，要深入地再思考一下：①是否还遗漏了一些点？是否还有另一个满足条件的轨迹方程存在？②在所求得的轨迹方程中，x、y的取值范围是否有什么限制?

拓展题例

[例1] 是否存在同时满足下列条件的抛物线？若存在，求出它的方程；若不存在，请说明理由．

(1)准线是y轴；

(2)顶点在x轴上；

(3)点A(3，0)到此抛物线上动点P的距离最小值是2.

解：假设存在这样的抛物线，顶点为(a，0)，则方程为y²＝4a(x－a)(a≠0)，

设P(x₀，y₀)，则y₀²＝4a(x₀－a)，

｜AP｜²＝(x₀－3)²+y₀²

＝［x₀－(3－2a)］²+12a－8a²，

令f(a)＝｜AP｜²，

①当a＞0时，有x₀≥a，

当3－2a≥a即a∈(0，1］时，

｜AP｜²＝f(3－2a)，∴a＝1或a＝；

抛物线方程为y²＝4(x－1)或y²＝2(x－).

当3－2a＜a即a＞1时，｜AP｜²＝f(a).

∴a＝5或a＝1(舍)，

抛物线方程为y²＝20(x－5).

②当a＜0时，显然与已知矛盾，

∴所求抛物线方程为y²＝4(x－1)或y²＝2(x－)或y²＝20(x－5)．

[例2] (2003年太原市模拟题)已知椭圆的焦点为F₁(－1，0)、F₂(1，0)，直线x=4是它的一条准线.

(1)求椭圆的方程；

(2)设A₁、A₂分别是椭圆的左顶点和右顶点，P是椭圆上满足|PA₁|－|PA₂|=2的一点，求tan∠A₁PA₂的值；

(3)若过点(1，0)的直线与以原点为顶点、A₂为焦点的抛物线相交于点M、N，求MN中点Q的轨迹方程.

解：(1)设椭圆方程为+=1(a＞b＞0).

=4，

a=2，

所求椭圆方程为+=1.

(2)由题设知，点P在以A₁、A₂为焦点，实轴长为2的双曲线的右支上.

由(1)知A₁(－2，0)，A₂(2，0)，

设双曲线方程为－=1(m＞0，n＞0).

m²+n²=4，　　　　 n=.

∴双曲线方程为x²－=1.由

+=1，

x²－=1，

解得P点的坐标为(，)或(，－).当P点坐标为(，)时，tan∠A₁PA₂==－4.

同理当P点坐标为(，－)时，

tan∠A₁PA₂=－4.

故tan∠A₁PA₂=－4.

(3)由题设知，抛物线方程为y²=8x.

设M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，MN的中点Q(x，y)，

当x₁≠x₂时，有

y₁²=8x₁，　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　①

y₂²=8x₂，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

x=，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　③

y=，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④

=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤

①－②，得(y₁+y₂)=8，

将④⑤代入上式，有·2y=8，

即y²=4(x－1)(x≠1).

当x₁=x₂时，MN的中点为(1，0)，仍满足上式.

故所求点Q的轨迹方程为y²=4(x－1).

1.已知曲线求方程或已知方程画曲线是解析几何中的两个基本问题.如何探求动点的轨迹方程呢？①从定义出发，还本索源.在探求动点的轨迹方程时，如能结合解析几何中某种曲线的定义，也就能寻找到解决问题的钥匙；②利用平面几何的性质.动点的轨迹与图形的性质相关，若某些轨迹与直线或圆有关，则可以利用三角形或圆的性质来帮助分析；③伴随曲线的思想和方法.如果点P的运动轨迹或所在的曲线已知，又点P与点Q的坐标之间可以建立起某种关系，则借助于点P的运动轨迹，我们便可以得到点Q的运动轨迹，这便是伴随曲线的思想方法.