4.已知α∈(0，)，β∈(，π)，sin(α+β)=，cosβ=－，则sinα=_______.

解析：由0＜α＜，＜β＜π，得＜α+β＜.

故由sin(α+β)=，得cos(α+β)=－.

由cosβ=－，得sinβ=.

∴sinα=sin［(α+β)－β］=sin(α+β)cosβ－cos(α+β)sinβ=·(－)－(－)·=－.

答案：－

3.的值是

A.　　　　　　　　　　　　　　 B.　　　　　　　　　　　　　 C.　　　　　　　　　　　　　 D.

解析：原式=

=

==.

答案：C

2.(2005年春季北京，7)在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么△ABC一定是

A.直角三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.等腰三角形

C.等腰直角三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.正三角形

解析：由2sinAcosB=sinC知2sinAcosB=sin(A+B)，

∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB.

∴cosAsinB－sinAcosB=0.

∴sin(B－A)=0.∴B=A.

答案：B

1.(2004年重庆，5)sin163°sin223°+sin253°sin313°等于

A.－　　　　　　　　　　　　 B.　　　　　　　　　　　　　　　　　 C.－　　　　　　　　　　　 D.

解析：原式=sin17°·(－sin43°)+(－sin73°)(－sin47°)=－sin17°sin43°+cos17°cos43°=cos60°=.

答案：B

2.S_(α±β)、C_(α－β)、T_(α±β)以及推导线索

(1)在C_(α+β)中以－β代β即可得到C_(α－β).

(2)利用cos(－α)=sinα即可得到S_(α+β)；再以－β代β即可得到S_(α－β).

(3)利用tanα=即可得到T_(α±β).

说明：理清线索以及各公式间的内在联系，是记忆公式的前提.只有这样才能记牢公式，才能用活公式.

●点击双基

1.C_(α+β)的推导

角α的始边为Ox，交单位圆于P₁，终边OP₂交单位圆于P₂，角β的始边为OP₂，终边交单位圆于P₃，角－β的始边为Ox，终边交单位圆于P₄，由||=||，得［cos(α+β)－1］²+sin²(α+β)=［cos(－β)－cosα］²+［sin(－β)－sinα］².

∴cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ.

4.2　 两角和与差、二倍角的公式(一)

●知识梳理

2.总结本章涉及的数学思想方法，以及与三角相关联的一些知识点.

拓展题例

[例1] 已知cosB=cosθ·sinA，cosC=sinθsinA.

求证：sin²A+sin²B+sin²C=2.

分析：本题为条件恒等式的证明，要从条件与要证的结论之间的联系入手，将结论中的sin²B、sin²C都统一成角A的三角函数.

证法一：sin²A+sin²B+sin²C=sin²A+［1－(cosθsinA)²］+［1－(sinθsinA)²］

=sin²A+1－cos²θsin²A+1－sin²θsin²A

=sin²A(1－sin²θ)+1－cos²θsin²A+1

=sin²Acos²θ－sin²Acos²θ+2=2.

∴原式成立.

证法二：由已知式可得cosθ=，sinθ=.

平方相加得cos²B+cos²C=sin²A

+=sin²A

cos2B+cos2C=2sin²A－2.

1－2sin²B+1－2sin²C=2sin²A－2，

∴sin²A+sin²B+sin²C=2.

[例2] 函数f(x)=1－2a－2acosx－2sin²x的最小值为g(a)，a∈R，

(1)求g(a)；

(2)若g(a)=，求a及此时f(x)的最大值.

解：(1)f(x)=1－2a－2acosx－2(1－cos²x)

=2cos²x－2acosx－1－2a

=2(cosx－)²－－2a－1.

若＜－1，即a＜－2，则当cosx=－1时，

f(x)有最小值g(a)=2(－1－)²－－2a－1=1；

若－1≤≤1，即－2≤a≤2，则当cosx=时，f(x)有最小值g(a)=－－2a－1；

若＞1，即a＞2，则当cosx=1时，f(x)有最小值g(a)=2(1－)²－－2a－1=1－4a.

∴g(a)=

(2)若g(a)=，由所求g(a)的解析式知只能是－－2a－1=或1－4a=.

由a=－1或a=－3(舍).

由a=(舍).

此时f(x)=2(cosx+)²+，得f(x)_max=5.

∴若g(a)=，应a=－1，此时f(x)的最大值是5.

1.因本节是三角函数的应用，建议教学中让学生自己总结一下三角函数本身有哪些应用，使知识能条理化并形成一个网络.

9.(2004年北京东城区高三第一次模拟考试)在△ABC中，若sinC(cosA+cosB)=sinA+sinB.

(1)求∠C的度数；

(2)在△ABC中，若角C所对的边c=1，试求内切圆半径r的取值范围.

解：(1)∵sinC(cosA+cosB)=sinA+sinB，

∴2sinCcos·cos=2sin·cos.

在△ABC中，－＜＜.

∴cos≠0.∴2sin²cos=cos，

(1－2sin²)cos=0.

∴(1－2sin²)=0或cos=0(舍).

∵0＜C＜π，∴∠C=.

(2)设Rt△ABC中，角A和角B的对边分别是a、b，则有a=sinA，b=cosA.

∴△ABC的内切圆半径

r=(a+b－c)=(sinA+cosA－1)

=sin(A+)－≤.

∴△ABC内切圆半径r的取值范围是0＜r≤.

●思悟小结

三角函数是中学教材中一种重要的函数，它的定义和性质有许多独特的表现，是高考中对基础知识和基本技能考查的重要内容之一，同时，由于三角函数和代数、几何知识联系密切，它又是研究其他各类知识的重要工具，因此应重视对知识理解的准确性，加强对三角知识工具性的认识.

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