3.已知函数f(x)=4x²－mx+5在区间［－2，+∞)上是增函数，则f(1)的范围是

A.f(1)≥25　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.f(1)=25

C.f(1)≤25　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.f(1)＞25

解析：由y=f(x)的对称轴是x=，可知f(x)在［，+∞)上递增，由题设只需≤－2m≤－16，

∴f(1)=9－m≥25.

答案：A

2.二次函数y=x²－2(a+b)x+c²+2ab的图象的顶点在x轴上，且a、b、c为△ABC的三边长，则△ABC为

A.锐角三角形　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.直角三角形

C.钝角三角形　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 D.等腰三角形

解析：y=［x－(a+b)］²+c²+2ab－(a+b)²=［x－(a+b)］²+c²－a²－b².

∴顶点为(a+b，c²－a²－b²).

由题意知c²－a²－b²=0.

∴△ABC为直角三角形.

答案：B

1.设二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)，如果f(x₁)=f(x₂)(其中x₁≠x₂)，则f()等于

A.－　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.－

C.c　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

解析：f()=f(－)=.

答案：D

2.6　 二次函数

●知识梳理

二次函数的基本性质

(1)二次函数的三种表示法：

y=ax²+bx+c；y=a(x－x₁)(x－x₂)；y=a(x－x₀)²+n.

(2)当a＞0，f(x)在区间［p，q］上的最大值为M，最小值为m，令x₀=(p+q).

若－＜p，则f(p)=m，f(q)=M；

若p≤－＜x₀，则f(－)=m，f(q)=M；

若x₀≤－＜q，则f(p)=M，f(－)=m；

若－≥q，则f(p)=M，f(q)=m.

●点击双基

4.分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，再合成.

●教师下载中心

教学点睛

由于本节中的反函数的定义既是重点又是难点，因此复习本节时，针对反函数的定义，教师应渗透如下知识：

(1)函数的反函数，本身也是一个函数，由反函数的定义，原来函数也是反函数的反函数.

(2)反函数的定义域、值域分别是原来函数的值域与定义域.

(3)由反函数定义知：①b=f(a)a=f^－1(b)，这两个式子是a、b之间关系的两种不同表示形式.

②f［f^－1(x)］=x(x∈C).

③f^－1［f(x)］=x(x∈A).

拓展题例

[例1] (2004年上海，10)若函数y=f(x)的图象可由y=lg(x+1)的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到，则f(x)等于

A.10^－x－1　　　　　　　　　　 B.10^x－1　　　　　　　　　　　 C.1－10^－x D.1－10^x

解析：所求函数与y=lg(x+1)的反函数的图象关于y轴对称.

答案：A

[例2] 若函数y＝(x≠－，x∈R)的图象关于直线y＝x对称，求a的值.

解法一：由y＝，解得x＝.故函数y＝的反函数为y＝.

∵函数y＝的图象关于直线y＝x对称，

∴函数y＝与它的反函数y＝相同.由＝恒成立，得a＝1.

解法二：∵点(0，1)在函数y＝的图象上，且图象关于直线y=x对称，

∴点(0，1)关于直线y＝x的对称点(1，0)也在原函数图象上，代入得a＝1.

[例3] 函数y=(x∈(－1，+∞))的图象与其反函数图象的交点坐标为___________________.

答案：(0，0)，(1，1)

3.求y＝f(x)的反函数的一般步骤：

(1)确定原函数的值域，也就是反函数的定义域；

(2)由y＝f(x)的解析式求出x＝f^－1(y)；

(3)将x、y对换，得反函数的习惯表达式y＝f^－1(x).

2.互为反函数的两个函数具有相同的增减性，它们的图象关于直线y＝x对称.

1.反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域不能由其解析式确定，而应当是原函数的值域.

10.已知函数f(x)=()²(x＞1).

(1)求f(x)的反函数f^－1(x)；

(2)判定f^－1(x)在其定义域内的单调性；

(3)若不等式(1－)f^－1(x)＞a(a－)对x∈［，］恒成立，求实数a的取值范围.

解：(1)由y=()²，得x=.

又y=(1－)²，且x＞1，∴0＜y＜1.

∴f^－1(x)=(0＜x＜1).

(2)设0＜x₁＜x₂＜1，则－＜0，1－＞0，1－＞0.

∴f^－1(x₁)－f^－1(x₂)=＜0，即f^－1(x₁)＜f^－1(x₂).

∴f^－1(x)在(0，1)上是增函数.

(3)由题设有(1－)＞a(a－).

∴1+＞a²－a，即(1+a)+1－a²＞0对x∈［，］恒成立.显然a≠－1.令t=，∵x∈［，］，∴t∈［，］.

则g(t)=(1+a)t+1－a²＞0对t∈［，］恒成立.

由于g(t)=(1+a)t+1－a²是关于t的一次函数，∴g()＞0且g()＞0，即解得－1＜a＜.

评述：本题(3)巧用换元法，通过构造一次函数，借助函数图象求解.

●思悟小结

9.已知函数f(x)=2(－)(a＞0，且a≠1).

(1)求函数y=f(x)的反函数y=f^－1(x)；

(2)判定f^－1(x)的奇偶性；

(3)解不等式f^－1(x)＞1.

解：(1)化简，得f(x)=.

设y=，则a^x=.∴x=log_a.

∴所求反函数为

y=f^－1(x)=log_a(－1＜x＜1).

(2)∵f^－1(－x)=log_a=log_a()^－1=－log_a=－f^－1(x)，

∴f^－1(x)是奇函数.

(3)log_a＞1.

当a＞1时，

原不等式＞a＜0.

∴＜x＜1.

当0＜a＜1时，原不等式

解得

∴－1＜x＜.

综上，当a＞1时，所求不等式的解集为(，1)；

当0＜a＜1时，所求不等式的解集为(－1，).

探究创新