5.设a+b+c=1，a²+b²+c²=1且a＞b＞c.

求证：－＜c＜0.

证明：∵a²+b²+c²=1，

∴(a+b)²－2ab+c²=1.

∴2ab=(a+b)²+c²－1=(1－c)²+c²－1=2c²－2c.

∴ab=c²－c.

又∵a+b=1－c，

∴a、b是方程x²+(c－1)x+c²－c=0的两个根，且a＞b＞c.

令f(x)=x²+(c－1)x+c²－c，则

4.已知a+b+c=0，求证：ab+bc+ca≤0.

证法一：(综合法)∵a+b+c=0，

∴(a+b+c)²＝0.

展开得ab+bc+ca=－，

∴ab+bc+ca≤0.

证法二：(分析法)要证ab+bc+ca≤0，

∵a+b+c=0，

故只需证ab+bc+ca≤(a+b+c)²，

即证a²+b²+c²+ab+bc+ca≥0，

亦即证［(a+b)²+(b+c)²+(c+a)²］≥0．

而这是显然的，由于以上相应各步均可逆，

∴原不等式成立.

证法三：∵a+b+c=0，∴－c=a+b.

∴ab+bc+ca=ab+(b+a)c=ab－(a+b)²

＝－a²－b²－ab＝－［(a+)²+］≤0．

∴ab+bc+ca≤0.

培养能力

3.已知a＞b＞c且a+b+c=0，求证：＜a.

证明：要证＜a，只需证b²－ac＜3a²，

即证b²+a(a+b)＜3a²，即证(a－b)(2a+b)＞0，

即证(a－b)(a－c)＞0.

∵a＞b＞c，∴(a－b)·(a－c)＞0成立.

∴原不等式成立.

2.对实数a和x而言，不等式x³+13a²x＞5ax²+9a³成立的充要条件是____________.

解析：(x³+13a²x)－(5ax²+9a³)

=x³－5ax²+13a²x－9a³

=(x－a)(x²－4ax+9a²)

=(x－a)［(x－2a)²+5a²］＞0.

∵当x≠2a≠0时，有(x－2a)²+5a²＞0.

由题意故只需x－a＞0即x＞a，以上过程可逆.

答案：x＞a

1.已知a、b是不相等的正数，x=，y=，则x、y的关系是

A.x＞y　　　　　　　　　　　　 B.y＞x　　　　　　　　　　　　 C.x＞y　　　　　　　　　　 D.不能确定

解析：∵x²=(+)²=(a+b+2)，

y²=a+b=(a+b+a+b)＞(a+b+2)=x²，又x＞0，y＞0.∴y＞x.

答案：B

5.若a＞b＞c，则+_______.(填“＞”“=”“＜”)

解析：a＞b＞c，(+)(a－c)=(+)［(a－b)+(b－c)］

≥2·2=4.

∴+≥＞.

答案：＞

●典例剖析

[例1] 设实数x、y满足y+x²＝0，0＜a＜1.求证：log_a(a^x+a^y)＜log_a2+.

剖析：不等式左端含x、y，而右端不含x、y，故从左向右变形时应消去x、y.

证明：∵a^x＞0，a^y＞0，

∴a^x+a^y≥2＝2.

∵x－x²＝－(x－)²≤，0＜a＜1，

∴a^x+a^y≥2＝2a.

∴log_a(a^x+a^y)＜log_a2a＝log_a2+.

评述：本题的证题思路可由分析法获得.要证原不等式成立，只要证a^x+a^y≥2·a即可．

[例2] 已知a、b、c∈R⁺，且a+b+c=1.求证：

(1+a)(1+b)(1+c)≥8(1－a)(1－b)(1－c).

剖析：在条件“a+b+c=1”的作用下，将不等式的“真面目”隐含了，给证明不等式带来困难，若用“a+b+c”换成“1”，则还原出原不等式的“真面目”，从而抓住实质，解决问题.

证明：∵a、b、c∈R⁺且a+b+c=1，

∴要证原不等式成立，

即证［(a+b+c)+a］·［(a+b+c)+b］［(a+b+c)+c］≥8［(a+b+c)－a］·［(a+b+c)－b］·［(a+b+c)－c］.

也就是证［(a+b)+(c+a)］［(a+b)+(b+c)］·［(c+a)+(b+c)］≥8(b+c)(c+a)(a+b).　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

∵(a+b)+(b+c)≥2＞0，

(b+c)+(c+a)≥2＞0，

(c+a)+(a+b)≥2＞0，

三式相乘得①式成立.

故原不等式得证.

[例3] 已知a＞1，n≥2，n∈N^*.

求证：－1＜.

证法一：要证－1＜，

即证a＜(+1)ⁿ.

令a－1=t＞0，则a=t+1.

也就是证t+1＜(1+)ⁿ.

∵(1+)ⁿ=1+C+…+C()ⁿ＞1+t，

即－1＜成立.

证法二：设a=xⁿ，x＞1.

于是只要证＞x－1，

即证＞n.联想到等比数列前n项和1+x+…+x^n－1=，　　　　 　　　 　　　　　　　 ①

倒序x^n－1+x^n－2+…+1=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

①+②得2·=(1+x^n－1)+(x+x^n－2)+…+(x^n－1+1)

＞2+2+…+2＞2n.

∴＞n.

思考讨论

本不等式是与自然数有关的命题，用数学归纳法可以证吗?读者可尝试一下.

●闯关训练

夯实基础

4.(理)在等差数列{a_n}与等比数列{b_n}中，a₁=b₁＞0，a_n=b_n＞0，则a_m与b_m的大小关系是____________.

解析：若d=0或q=1，则a_m=b_m.

若d≠0，画出a_n=a₁+(n－1)d与b_n=b₁·q^n－1的图象，

易知a_m＞b_m，故a_m≥b_m.

答案：a_m≥b_m

(文)在等差数列{a_n}与等比数列{b_n}中，a₁=b₁＞0，a_2n+1=b_2n+1＞0(n=1，2，3，…)，则a_n+1与b_n+1的大小关系是____________.

解析：a_n+1=≥==b_n+1.

答案：a_n+1≥b_n+1

3.分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的

A.充分条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.必要条件

C.充要条件　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.既不充分又不必要条件

答案：A

2.(2003年南京市质检题)若＜＜0，则下列结论不正确的是

A.a²＜b²　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.ab＜b²

C.+＞2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.|a|+|b|＞|a+b|

解析：由＜＜0，知b＜a＜0.

∴A不正确.

答案：A

1.(2005年春季北京，8)若不等式(－1)ⁿa＜2+对任意n∈N^*恒成立，则实数a的取值范围是

A.［－2，)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.(－2，)

C.［－3，)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.(－3，)

解析：当n为正偶数时，

a＜2－，2－为增函数，

∴a＜2－=.

当n为正奇数时，－a＜2+，a＞－2－.

而－2－为增函数，－2－＜－2，

∴a≥－2.故a∈［－2，).

答案：A