9.(2003年春季北京)已知动圆过定点P(1，0)，且与定直线l：x=－1相切，点C在l上.

(1)求动圆圆心的轨迹M的方程；

(2)设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A、B两点.

①问△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由.

②当△ABC为钝角三角形时，求这时点C的纵坐标的取值范围.

解：(1)依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y²=4x，如下图.

(2)①由题意得，直线AB的方程为

y=－(x－1).

y²=4x，　　　　　　

解得A(，)，B(3，－2)，

若△ABC能为正三角形，

设C(－1，y)，则|AC|=|AB|=|BC|，

(3+1)²+(2+y)²=(3－)²+(2+)².　　　　　　　　　　　 ②

解得y=－.

但y=－不符合(1)，所以①②组成的方程组无解.因此直线l上不存在点C使△ABC是正三角形.

②设C(－1，y)使△ABC成钝角三角形，由

得y=2，

x=－1，　　　　　

即当点C的坐标为(－1，2)时，A、B、C三点共线，故y≠2.

又|AC|²=(－1－)²+(y－)²=－+y²，|BC|²=(3+1)²+(y+2)²=28+4y+y²，|AB|²=()²=.

当|BC|²＞|AC|²+|AB|²，

即28+4y+y²＞－y+y²+，

即y＞时，∠CAB为钝角.

当|AC|²＞|BC|²+|AB|²，

即－y+y²＞28+4y+y²+，

即y＜－时，∠CBA为钝角.

又|AB|²＞|AC|²+|BC|²，即

＞－+y²+28+4y+y²，即

y²+y+＜0，(y+)²＜0.

该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.

因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是

y＜－或y＞(y≠2).

●思悟小结

本节主要内容是抛物线的定义、方程及几何性质.解决本节问题时应注意以下几点：

8.过抛物线y²=2px(p＞0)焦点F的弦AB，点A、B在抛物线准线上的射影为A₁、B₁，求∠A₁FB₁.

解：由抛物线定义及平行线性质知∠A₁FB₁=180°－(∠AFA₁+∠BFB₁)

=180°－(180°－∠A₁AF)－(180°－∠B₁BF)

=(∠A₁AF+∠B₁BF)=90°.

探究创新

7.给定抛物线y²=2x，设A(a，0)，a＞0，P是抛物线上的一点，且｜PA｜=d，试求d的最小值.

解：设P(x₀，y₀)(x₀≥0)，则y₀²=2x₀，

∴d=｜PA｜=

==.

∵a＞0，x₀≥0，

∴(1)当0＜a＜1时，1－a＞0，

此时有x₀=0时，

d_min==a.

(2)当a≥1时，1－a≤0，

此时有x₀=a－1时，

d_min=.

6.正方形ABCD中，一条边AB在直线y=x+4上，另外两顶点C、D在抛物线y²＝x上，求正方形的面积.

解：设CD所在直线的方程为y=x+t，

y²=x，　

x²+(2t－1)x+t²=0，

∴｜CD｜＝

＝.

又直线AB与CD间距离为｜AD｜＝，

∵｜AD｜＝｜CD｜，

∴t=－2或－6.

从而边长为3或5.

面积S₁＝(3)²＝18，S₂=(5)²=50.

培养能力

5.下图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A(0，9)，其轨迹方程是y=ax²+c(a＜0)，D=(6，7)为x轴上的给定区间.

(1)为使物体落在D内，求a的取值范围；

(2)若物体运动时又经过点P(2，8.1)，问它能否落在D内？并说明理由.

解：(1)把点A的坐标(0，9)代入y=ax²+c得c=9，即运动物体的轨迹方程为y=ax²+9.

令y=0，得ax²+9=0，即x²=－.

若物体落在D内，应有6＜＜7，

解得－＜a＜－.

(2)若运动物体又经过点P(2，8.1)，

则8.1=4a+9，解得a=－，

∴－＜－＜－，

∴运动物体能落在D内.

4.在抛物线y=4x²上求一点，使该点到直线y=4x－5的距离最短，该点的坐标是____________.

解法一：设与y=4x－5平行的直线y=4x+b与y=4x²相切，则y=4x+b代入y=4x²，得　　　 4x²－4x－b=0.　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ①

Δ=16+16b=0时b=－1，代入①得x=，

∴所求点为(，1).

解法二：设该点坐标为A(x₀，y₀)，那么有y₀=4x₀².设点A到直线y=4x－5的距离为d，则

d==|－4x₀²+4x₀－5|

=|4x₀²－4x₀+5|=|4(x₀－)²+1|.

当且仅当x₀=时，d有最小值，

将x₀=代入y=4x²解得y₀=1.

故A点坐标为(，1).

答案：(，1)

3.(2003年春季上海)直线y=x－1被抛物线y²=4x截得线段的中点坐标是___________.

解析：将y=x－1代入抛物线y²=4x，经整理得x²－6x+1=0.

由韦达定理得x₁+x₂=6，=3，

===2.

∴所求点的坐标为(3，2).

答案：(3，2)

2.(2004年全国Ⅰ，8)设抛物线y²=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是

A.［－，］　　　　　　　　　　　　 B.［－2，2］

C.［－1，1］　　　　　　　　　　　　　 D.［－4，4］

解析：∵y²=8x，∴Q(－2，0)(Q为准线与x轴的交点)，设过Q点的直线l方程为y= k(x+2).

∵l与抛物线有公共点，

y=k(x+8)

即k²x²+(4k²－8)+4k²=0有解.

∴Δ=(4k²－8)²－16k⁴≥0，即k²≤1.

∴－1≤k≤1.

答案：C

1.(2003年高考·新课程)设a>0，f(x)=ax²+bx+c，曲线y=f(x)在点P(x₀，f(x₀))处切线的倾斜角的取值范围为［0，］，则P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为

A.［0，］　　　　　　　　　　　　　 B.［0，］

C.［0，||］　　　　　　　　　　　　 D.［0，||］

解析：tanα=k=f′(x)=2ax+b，

∴0≤2ax₀+b≤1.

∴0≤x₀+≤.

答案：B

5.(2002年全国)对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2，1).

能使这抛物线方程为y²=10x的条件是____________.(要求填写合适条件的序号)

解析：由抛物线方程y²=10x可知②⑤满足条件.

答案：②⑤

●典例剖析

[例1] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：

(1)过点(－3，2)；

(2)焦点在直线x－2y－4=0上.

剖析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p；从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论.

解：(1)设所求的抛物线方程为y²=－2px或x²=2py(p＞0)，

∵过点(－3，2)，

∴4=－2p(－3)或9=2p·2.

∴p=或p=.

∴所求的抛物线方程为y²=－x或x²=y，前者的准线方程是x=，后者的准线方程是y=－.

(2)令x=0得y=－2，令y=0得x=4，

∴抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2).

当焦点为(4，0)时，=4，

∴p=8，此时抛物线方程y²=16x；

焦点为(0，－2)时，=2，

∴p=4，此时抛物线方程为x²=－8y.

∴所求的抛物线的方程为y²=16x或x²=－8y，对应的准线方程分别是x=－4，y=2.

评述：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.

[例2]如下图所示，直线l₁和l₂相交于点M，l₁⊥l₂，点N∈l₁，以A、B为端点的曲线段C上任一点到l₂的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|NB|=6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.

剖析：由题意所求曲线段是抛物线的一部分，求曲线方程需建立适当的直角坐标系，设出抛物线方程，由条件求出待定系数即可，求出曲线方程后要标注x、y的取值范围.

解：以直线l₁为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C是以点N为焦点，以l₂为准线的抛物线的一段.其中A、B分别为曲线段C的端点.

设曲线段C的方程为y²=2px(p>0)(x_A≤x≤x_B，y>0)，其中x_A、x_B为A、B的横坐标，p=|MN|，

所以M(－，0) 、N(，0).

由|AM|=，|AN|=3，得

(x_A+)²+2px_A=17，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ①

(x_A－)²+2px_A=9.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ②

①②联立解得x_A=，代入①式，并由p>0，

x_A=1　　　 x_A=2.

因为△AMN为锐角三角形，所以>x_A.

x_A=2.　　　　 x_A=1.

由点B在曲线段C上，得x_B=|BN|－=4.

综上，曲线段C的方程为y²=8x(1≤x≤4，y>0).

评述：本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法、待定系数法求曲线方程的步骤，综合考查了学生分析问题、解决问题的能力.

[例3] 设抛物线y²=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O.

剖析：证直线AC经过原点O，即证O、A、C三点共线，为此只需证k_OC=k_OA.本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决.

证法一：设AB：x=my+，代入y²=2px，得y²－2pmy－P²=0.

由韦达定理，得y_Ay_B=－p²，

即y_B=－.

∵BC∥x轴，且C在准线x=－上，

∴C(－，y_B).

则k_OC====k_OA.

故直线AC经过原点O.

证法二：如下图，记准线l与x轴的交点为E，过A作AD⊥l，垂足为D.

则AD∥EF∥BC.连结AC交EF于点N，则==，=.

∵|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，

∴|EN|===|NF|，

即N是EF的中点.从而点N与点O重合，故直线AC经过原点O.

评述：本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力.在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到y_A·y_B=－p²这个重要结论.还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目.

思考讨论　　

本题也可用平面向量来证明，读者不妨一试.

●闯关训练

夯实基础