摘要：椭圆参数的几何意义.如下图所示: (1)|PF1|+|PF2|=2a.==e, (2)|A1F1|=|A2F2|=a-c.|A1F2|=|A2F1|=a+c, (3)|BF2|=|BF1|=a.|OF1|=|OF2|=c, (4)|F1K1|=|F2K2|=p=. |PM2|+|PM1|=. ●教师下载中心 教学点睛 本节的重点是椭圆的定义.方程.几何性质.难点是理解参数a.b.c.e的关系.及利用第二定义解决问题.关键是注意数形结合.函数与方程的思想.等价转化的运用.为此建议在教学中注意以下几点: (1)椭圆中有一个十分重要的三角形OF1B2.它的三边长分别为a.b.c.易见c2=a2-b2.且若记∠OF1B2=θ.则cosθ==e. (2)应理解椭圆是平面内到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹.本质上.它与坐标系无关.而坐标系是研究的手段.实际上.人们研究圆锥曲线的记录早于笛卡儿发明坐标系.从而椭圆本身所固有的性质并不依赖于坐标系.这些性质不因坐标系的选择而改变.例如上述的△OF1B2.公式cosθ=e等.均不因坐标系的改变而改变. (3)椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|.因为当平面内的动点与定点F1.F2的距离之和等于|F1F2|时.其动点轨迹就是线段F1F2,当平面内的动点与定点F1.F2的距离之和小于|F1F2|时.其轨迹不存在. (4)椭圆标准方程中两个参数a和b确定了椭圆的形状和大小.两种标准方程中.总有a＞b＞0,椭圆的焦点位置决定标准方程的类型,a.b.c的关系是c2=a2-b2,在方程Ax2+By2=C中.只要A.B.C同号.就是椭圆方程. (5)当题目中出现椭圆上的点与焦点的距离.焦点弦长相关时.常利用椭圆的第二定义.转化为点到准线的距离来研究.即正确应用焦半径公式. (6)使用椭圆的第二定义时.一定要注意动点P到焦点的距离与对应准线距离之比为常数e.若使用的焦点与准线不是对应的.则上述之比就不再是常数了. 拓展题例 [例1] 如下图.已知△OFQ的面积为S.且·=1. (1)若＜S＜2.求向量与的夹角θ的取值范围, (2)设||=c(c≥2).S=c.若以O为中心.F为一个焦点的椭圆经过点Q.当||取最小值时.求椭圆的方程. 解:(1)由已知.得 ||||sin(π-θ)=S. ||||cosθ=1. ∴tanθ=2S. ∵＜S＜2.∴1＜tanθ＜4. 则＜θ＜arctan4. (2)以O为原点.所在直线为x轴建立平面直角坐标系. 设椭圆方程为+=1(a＞b＞0).Q(x.y). =(c.0).则=(x-c.y). ∵||·y=c.∴y=. 又∵·=c(x-c)=1.∴x=c+. 则||==(c≥2). 可以证明:当c≥2时.函数t=c+为增函数. ∴当c=2时. ||min==. 此时Q(.).将Q的坐标代入椭圆方程. 解得 得 +=1. a2=10. a2-b2=4. b2=6. ∴椭圆方程为+=1. [例2] 已知某椭圆的焦点是F1.F2(4.0).过点F2.并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B.且|F1B|+|F2B|＝10．椭圆上不同的两点A(x1.y1).C(x2.y2)满足条件:|F2A|.|F2B|.|F2C|成等差数列. (1)求该椭圆的方程, (2)求弦AC中点的横坐标, (3)设弦AC的垂直平分线的方程为y＝kx+m.求m的取值范围. (1)解:由椭圆定义及条件知 2a＝|F1B|+|F2B|＝10.得a＝5.又c＝4. 所以b＝＝3． 故椭圆方程为+＝1． (2)解:由点B(4.yB)在椭圆上.得|F2B|＝|yB|＝． 方法一:因为椭圆右准线方程为x＝.离心率为． 根据椭圆定义.有|F2A|＝(-x1).|F2C|＝(-x2)． 由|F2A|.|F2B|.|F2C|成等差数列.得 (-x1)+(-x2)＝2×． 由此得出x1+x2＝8． 设弦AC的中点为P(x0.y0). 则x0＝＝＝4． 方法二:由|F2A|.|F2B|.|F2C|成等差数列.得+＝2×. ① 由A(x1.y1)在椭圆+＝1上.得 y12＝(25-x12). 所以 = ＝＝(25-4x1). ② 同理可得＝(25-4x2)． ③ 将②③代入①式.得 (25-4x1)+(25-4x2)＝． 所以x1+x2＝8． 设弦AC的中点为P(x0.y0). 则x0＝＝＝4． (3)解法一:由A(x1.y1).C(x2.y2)在椭圆上.得 9x12+25y12＝9×25. ④ 9x22+25y22＝9×25． ⑤ 由④-⑤得9(x12-x22)+25(y12-y22)＝0. 即9()+25()()＝0(x1≠x2). 将＝x0=4.＝y0.＝-(k≠0)代入上式.得 9×4+25y0(-)＝0(k≠0)． 由上式得k＝y0(当k＝0时也成立). 由点P(4.y0)在弦AC的垂直平分线上.得 y0＝4k+m. 所以m＝y0-4k＝y0-y0＝-y0． 由P(4.y0)在线段BB′(B′与B关于x轴对称)的内部.得-＜y0＜. 所以-＜m＜． 评述:在推导过程中.未写明“x1≠x2 “k≠0 “k＝0时也成立 及把结论写为“-≤m≤ 也可以. 解法二:因为弦AC的中点为P(4.y0). 所以直线AC的方程为 y-y0＝-(x-4)(k≠0). ⑥ 将⑥代入椭圆方程+＝1.得 (9k2+25)x2-50(ky0+4)x+25(ky0+4)2-25×9k2＝0． 所以x1+x2＝＝8． 解得k＝y0(当k＝0时也成立). 以下步骤同解法一.

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