摘要：求与圆A:(x+5)2+y2=49和圆B:(x-5)2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为 . 解析:利用双曲线的定义. 答案:-=1(x＞0) ●典例剖析 [例1] 根据下列条件.求双曲线方程: (1)与双曲线-=1有共同的渐近线.且过点(-3.2), (2)与双曲线-=1有公共焦点.且过点(3.2). 剖析:设双曲线方程为-=1.求双曲线方程.即求a.b.为此需要关于a.b的两个方程.由题意易得关于a.b的两个方程. 解法一:(1)设双曲线的方程为-=1. 由题意.得 =. -=1. 解得a2=.b2=4. 所以双曲线的方程为-=1. (2)设双曲线方程为-=1. 由题意易求c=2. 又双曲线过点(3.2). ∴-=1. 又∵a2+b2=(2)2. ∴a2=12.b2=8. 故所求双曲线的方程为-=1. 解法二:(1)设所求双曲线方程为-＝λ(λ≠0). 将点(-3.2)代入得λ＝. 所以双曲线方程为-＝. (2)设双曲线方程为-＝1. 将点(3.2)代入得k=4.所以双曲线方程为-＝1. 评述:求双曲线的方程.关键是求a.b.在解题过程中应熟悉各元素(a.b.c.e及准线)之间的关系.并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程ax±by=0.可设双曲线方程为a2x2-b2y2=λ(λ≠0). [例2] 设点P到点M.N(1.0)距离之差为2m.到x轴.y轴距离之比为2.求m的取值范围. 剖析:由|PM|-|PN|=2m.得||PM|-|PN||=2|m|.知点P的轨迹是双曲线.由点P到x轴.y轴距离之比为2.知点P的轨迹是直线.由交轨法求得点P的坐标.进而可求得m的取值 范围. 解:设点P的坐标为(x.y).依题意得=2.即y=±2x(x≠0). ① 因此.点P(x.y).M.N(1.0)三点不共线.得||PM|-|PN||<|MN|=2. ∵||PM|-|PN||=2|m|>0. ∴0<|m|<1.因此.点P在以M.N为焦点.实轴长为2|m|的双曲线上. 故-=1. ② 将①代入②.并解得x2=. ∵1-m2>0.∴1-5m2>0. 解得0<|m|<. 即m的取值范围为(-.0)∪(0.). 评述:本题考查了双曲线的定义.标准方程等基本知识.考查了逻辑思维能力及分析问题.解决问题的能力.解决此题的关键是用好双曲线的定义. [例3] 如下图.在双曲线-=1的上支上有三点A(x1.y1).B(x2.6).C(x3.y3).它们与点F(0.5)的距离成等差数列. (1)求y1+y3的值, (2)证明:线段AC的垂直平分线经过某一定点.并求此点坐标. 剖析:可以验证F为焦点.利用第二定义可得三点到准线的距离也成等差数列.进而有三点纵坐标成等差数列.由此易得y1+y3的值.为求出AC的中垂线所过定点.不妨设想作出A与C关于y轴的对称点A′与C′.由双曲线的对称性.易知A′与C′也在双曲线上.且A′.B.C′满足题设条件.所以A′C′的中垂线也应过此定点.由两条中垂线关于y轴对称.所以定点应在y轴上. (1)解:c==5.故F为双曲线的焦点.设准线为l.离心率为e.由题设有2|FB|=|FA|+|FC|. ① 分别过A.B.C作x轴的垂线AA2.BB2.CC2.交l于A1.B1.C1.则由双曲线第二定义有|FB|=e|BB1|.|FA|=e|AA1|.|FC|=e|CC1|.代入①式.得2e|BB1|=e|AA1|+e|CC1|. 即2|BB1|=|AA1|+|CC1|. 于是两边均加上准线与x轴距离的2倍.有 2|BB2|=|AA2|+|CC2|. 此即2×6=y1+y3.可见y1+y3=12. (2)证明:AC的中垂线方程为 y-=-(x-). 即y-6=-x+. ② 由于A.C均在双曲线上. 所以有-=1.-=1. 相减得=.于是有 =(y1+y3)=·12=13. 故②变为y=-x+.易知此直线过定点D(0.). 评述:利用第二定义得焦半径.可使问题容易解决.中垂线过弦AC的中点.中点问题往往把A.C的坐标代入方程.两式相减.变形.即可解决问题. ●闯关训练 夯实基础

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