5.点P在椭圆+=1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标是____________.

解析：利用第二定义.

答案：

●典例剖析

[例1] 已知F₁为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF₁⊥F₁A，PO∥AB(O为椭圆中心)时，求椭圆的离心率.

剖析：求椭圆的离心率，即求，只需求a、c的值或a、c用同一个量表示.本题没有具体数值，因此只需把a、c用同一量表示，由PF₁⊥F₁A，PO∥AB易得b=c，a=b.

解：设椭圆方程为+=1(a＞b＞0)，F₁(－c，0)，c²=a²－b²，

则P(－c，b)，即P(－c，).

∵AB∥PO，∴k_AB=k_OP，

即－=.∴b=c.

又∵a==b，

∴e===.

评述：由题意准确画出图形，利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关键.

[例2] 如下图，设E：+=1(a＞b＞0)的焦点为F₁与F₂，且P∈E，∠F₁PF₂=2θ.

求证：△PF₁F₂的面积S=b²tanθ.

剖析：有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题，设|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，则S=r₁r₂sin2θ.若能消去r₁r₂，问题即获解决.

证明：设|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，

则S=r₁r₂sin2θ，又|F₁F₂|=2c，

由余弦定理有

(2c)²=r₁²+r₂²－2r₁r₂cos2θ=(r₁+r₂)²－2r₁r₂－2r₁r₂cos2θ=(2a)²－2r₁r₂(1+cos2θ)，

于是2r₁r₂(1+cos2θ)=4a²－4c²=4b².

所以r₁r₂=.

这样即有S=·sin2θ=b²=b²tanθ.

评述：解与△PF₁F₂(P为椭圆上的点)有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并结合|PF₁|+|PF₂|=2a来解决.

特别提示 　　

我们设想点P在E上由A向B运动，由于△PF₁F₂的底边F₁F₂为定长，而高逐渐变大，故此时S逐渐变大.所以当P运动到点B时S取得最大值.由于b²为常数，所以tanθ逐渐变大.因2θ为三角形内角，故2θ∈(0，π)，θ∈(0，).这样，θ也逐渐变大，当P运动到B时，∠F₁PF₂取得最大值.故本题可引申为求最值问题，读者不妨一试.

[例3] 若椭圆ax²+by²=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM(O为原点)的斜率为，且OA⊥OB，求椭圆的方程.

剖析：欲求椭圆方程，需求a、b，为此需要得到关于a、b的两个方程，由OM的斜率为.OA⊥OB，易得a、b的两个方程.

解：设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，M(，).

ax²+by²=1，

∴=，=1－=.

∴M(，).

∵k_OM=，∴b=a.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ①

∵OA⊥OB，∴·=－1.

∴x₁x₂+y₁y₂=0.

∵x₁x₂=，y₁y₂=(1－x₁)(1－x₂)，

∴y₁y₂=1－(x₁+x₂)+x₁x₂

=1－+=.

∴+=0.

∴a+b=2.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ②

由①②得a=2(－1)，b=2(－1).

∴所求方程为2(－1)x²+2(－1)y²=1.

评述：直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，但不是真的求出x₁、y₁、x₂、y₂，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题.由OA⊥OB得x₁x₂+y₁y₂=0是解决本题的关键.

●闯关训练

夯实基础

4.如果方程x²+ky²=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.

解析：椭圆方程化为+=1.

焦点在y轴上，则>2，即k<1.

又k>0，∴0<k<1.

答案：0＜k＜1

2.(2004年湖北，6)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P在椭圆上，若P、F₁、F₂是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为

A.　　　　　　 　B.3　　　　　　　　 C.　　　　　　 D.

解析：由余弦定理判断∠P<90°，只能∠PF₁F₂或∠PF₂F₁为直角.由a=4，b=3得c=，

∴|y_P|=.

答案：D

(为参数)的焦点坐标为

y=3sin　

A.(0，0)，(0，－8)　　　　　　　　 B.(0，0)，(－8，0)

C.(0，0)，(0，8)　　　　　　　　　 D.(0，0)，(8，0)

解析：消参数得椭圆+=1，

∴c=4.

易得焦点(0，0)，(8，0).

答案：D

1.(2003年北京宣武区模拟题)已知F₁、F₂是椭圆+=1的两个焦点，过F₁的直线与椭圆交于M、N两点，则△MNF₂的周长为

A.8　　　　　　　 B.16　　　　　　　 C.25　　　　　　　　 D.32

解析：利用椭圆的定义易知B正确.

答案：B

3.参数方程
　 方程

y=bsinθ

思考讨论　　

对于焦点在y轴上的椭圆+=1(a＞b＞0)，其性质如何？焦半径公式怎样推导？

●点击双基

8.1　 椭圆

●知识梳理