5.已知f(x)=2ax－+lnx在x=－1,x=处取得极值.

(1)求a、b的值；

(2)若对x∈［,4］时，f(x)＞c恒成立，求c的取值范围.

解:(1)∵f(x)=2ax－+lnx,

∴f′(x)=2a++.

∵f(x)在x=－1与x=处取得极值，

∴f′(－1)=0,f′()=0,

即解得

∴所求a、b的值分别为1、－1.

(2)由(1)得f′(x)=2－+= (2x²+x－1)=(2x－1)(x+1).

∴当x∈［,］时，f′(x)＜0;当x∈［,4］时，f′(x)＞0.∴f()是f(x)在［,4］上的极小值.又∵只有一个极小值，

∴f(x)_min=f()=3－ln2.

∵f(x)＞c恒成立，∴c＜f(x)_min=3－ln2.

∴c的取值范围为c＜3－ln2.

4.(2005年北京东城区模拟题)如果函数y=f(x)的导函数的图象如下图所示,给出下列判断:

①函数y=f(x)在区间(－3,－)内单调递增;

②函数y=f(x)在区间(－,3)内单调递减;

③函数y=f(x)在区间(4,5)内单调递增;

④当x=2时,函数y=f(x)有极小值;

⑤当x=－时,函数y=f(x)有极大值.

则上述判断中正确的是_____________

解析:当x∈(4,5)时,恒有f′(x)＞0.

答案:③

3.函数y=－2x(x≥0)的最大值为_____________.

解析:y′=－2,

当0＜x＜时，y′＞0,∴y=－2x在(0,)上为增函数.

当x＞时，y′＜0,∴y=－2x在(,+∞)上是减函数.∴y=－2x在(0,+∞)上的最大值为－=.

答案:

2.函数f(x)=sin(3x－)在点(,)处的切线方程是

A.3x+2y+－=0

B.3x－2y+－=0

C.3x－2y－－=0

D.3x+2y－－=0

解析:因为f′(x)=3cos(3x－),所以所求切线的斜率为f′()=,切线方程为y－= (x－),即3x－2y+－=0.

答案:B

1.下列各式正确的是

A.x－＞sinx　 (x＞0)

B.sinx＜x　 (x＞0)

C.x＞sinx　 (0＜x＜)

D.以上各式都不对

解析：令F(x)=x－sinx,则F′(x)=1－cosx＞0(当x＞0,x≠2nπ,n=1,2,…).

故F(x)在x＞0时单调递增.因此当x＞0时,有F(x)＞F(0)=0.

答案：B

5.若函数f(x)=x³+x²+mx+1是R上的单调递增函数，则m的取值范围是______________

_____________________.

解析:f′(x)=3x²+2x+m.∵f(x)在R上是单调递增函数,

∴f′(x)＞0在R上恒成立，

即3x²+2x+m＞0.

由Δ=4－4×3m＜0,得m＞.

答案:m＞

●典例剖析

[例1] 求函数y=的值域.

剖析:求函数值域是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质来求解，也可以利用函数的单调性求出值域.本题形式结构复杂，可采用求导的方法求解.

解:函数的定义域由求得x≥－2.

求导得y′=－

=.

由y′＞0得2＞,

即解得x＞－2,即函数y=－在(－2,+∞)上是增函数.

又此函数在x=－2处连续,∴在［－2,+∞)上是增函数，而f(－2)=－1.

∴函数y=－的值域是［－1,+∞).

评述:函数y=f(x)在(a,b)上为单调函数，当在［a,b］上连续时，y=f(x)在［a,b］上也是单调函数.

[例2] 已知f(x)=ax³+bx²+cx(a≠0)在x=±1时取得极值，且f(1)=－1,

(1)试求常数a、b、c的值；

(2)试判断x=±1是函数的极大值还是极小值，并说明理由.

剖析:考查函数f(x)是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为f′(x)=0的根建立起由极值点x=±1所确定的相关等式，运用待定系数法确定a、b、c的值.

(1)解法一:f′(x)=3ax²+2bx+c,∵x=±1是函数的极值点,

∴x=±1是方程3ax²+2bx+c=0的两根.

由根与系数的关系知

又f(1)=－1,∴a+b+c=－1.　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 　③

由①②③解得a=,b=0,c=－.

解法二:由f′(1)=f′(－1)=0,

得3a+2b+c=0,　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　①

3a－2b+c=0.　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　②

又f(1)=－1,∴a+b+c=－1.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

由①②③解得a=,b=0,c=－.

(2)解:f(x)=x³－x,∴f′(x)= x²－= (x－1)(x+1).

当x＜－1或x＞1时,f′(x)＞0;当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.

∴x=－1时，f(x)有极大值；x=1时,f(x)有极小值.

[例3] 已知函数f(x)=2ax－,x∈(0,1］.

(1)若f(x)在x∈(0,1］上是增函数，求a的取值范围；

(2)求f(x)在区间(0,1］上的最大值.

剖析:(1)要使f(x)在(0,1］上为增函数，需f′(x)＞0,x∈(0,1).

(2)利用函数的单调性求最大值.

解:(1)由已知可得f′(x)=2a+,∵f(x)在(0,1)上是增函数，∴f′(x)＞0,即a＞－,　　 x∈(0,1］.∴a＞－1.

当a=－1时，f′(x)=－2+对x∈(0,1)也有f′(x)＞0，满足f(x)在(0,1］上为增函数，

∴a≥－1.

(2)由(1)知,当a≥－1时,f(x)在(0,1］上为增函数,

∴［f(x)］_max=f(1)=2a－1.

当a＜－1时，令f′(x)=0得x=,

∵0＜＜1,∴0＜x＜时,f′(x)＞0; ＜x≤1时，f′(x)＜0.∴f(x)在(0, )上是增函数，在(,1]减函数.

∴［f(x)］_max=f ()=－3.

评述:求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单.

深化拓展

(1)也可用函数单调性的定义求解.

思考讨论

函数f(x)在区间D上的极值与最值有什么联系？

●闯关训练

夯实基础

4.函数f(x)=e^x+e^－x在(0，+∞)上的单调性是__________.

解析:∵f′(x)=e^x－e^－x=e^－x(e^2x－1),∴当x∈(0,+∞)时，f′(x)＞0.

∴f(x)在(0，+∞)上是增函数.

答案:增函数

3.设f(x)在(a,b)内有定义，x₀∈(a,b)，当x＜x₀时，f′(x)＞0;当x＞x₀时，f′(x)＜0.则x₀是

A.间断点　　　　　　　　　　　　　 B.极小值点

C.极大值点　　　　　　　　　　　　 D.不一定是极值点

解析:f(x)在x₀处不一定连续.

答案:D

2.函数y=1+3x－x³有

A.极小值－2,极大值2

B.极小值－2,极大值3

C.极小值－1,极大值1

D.极小值－1,极大值3

解析：y′=3－3x²=3(1+x)(1－x).

令y′=0得x₁=－1,x₂=1.当x＜－1时,y′＜0,函数y=1+3x－x³是减函数;当－1＜x＜1时,　 y′＞0,函数y=1+3x－x³是增函数;当x＞1时,y′＜0,函数y=1+3x－x³是减函数.

∴当x=－1时,函数y=1+3x－x³有极小值－1;当x=1时,函数y=1+3x－x³有极大值3.

答案：D

1.(2005年海淀区高三第一学期期末模拟)函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数

A.(,)　　　　　　　　　　　　 B.(π,2π)

C.(, )　　　　　　　　　　　 D.(2π,3π)

解析：y′=(xsinx+cosx)′=sinx+xcosx－sinx=xcosx,

当x∈(,)时,恒有xcosx＞0.

答案：C