3.(2004年湖北，理14)将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有_____________种.(以数字作答)

解析：从10个盒中挑3个与球标号不一致，共C种挑法，每一种3个盒子与球标号全不一致的方法为2种，∴共有2C=240种.

答案：240

2.(2004年江苏，3)从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有

A.140种　　　　　　　　　　　 B.120种　　　　　　　　　　　 C.35种　　　　　　　　　　　　 D.34种

解析：7人中任选4人，共C种选法，扣除只有男生的选法C，就可得有既有男生，又有女生的选法C－C=34.

答案：D

1.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有

A.240种　　　　　　　　　　　 B.180种　　　　　　　　　　　 C.120种　　　　　　　　　　　 D.60种

解析：先从6双手套中任选一双，有C种取法，再从其余手套中任选2只，有C种，其中选一双同色手套的选法为C种.故总的选法数为C(C－C)=240种.

答案：A

2.从一楼到二楼楼梯一共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，规定用8步走完楼梯的方法种数是_____________.

解：设一步一级x步，一步两级y步，则

故走完楼梯的方法有C=28种.

●闯关训练

夯实基础

1.某城市由n条东西方向的街道和m条南北方向的街道组成一个矩形街道网，如下图所示.要从A处走到B处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？

解：将相邻两个交点之间的街道称为一段，那么从A到B需要走(n+m－2)段，而这些段中，必须有东西方向的(n－1)段，其余的为南北方向的(m－1)段，所以共有C=C种走法.

5.某校准备参加2004年全国高中数学联赛，把10个名额分配给高三年级8个班，每班至少1人，不同的分配方案有_____________种.

解析：把10个名额分成8份，每份至少一个名额即可，用隔板法：C=C=36.

答案：36

●典例剖析

[例1] 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选取会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法?

解：由题意可知，只会英语的有6人，只会日语的有2人，英语和日语都会的有1人.

以只会英语的人数分类，C·C·C+C·C=20.

[例2] 设集合A={1，2，3，…，10}，

(1)设A的3个元素的子集的个数为n，求n的值；

(2)设A的3个元素的子集中，3个元素的和分别为a₁，a₂，…，a_n，求a₁+a₂+a₃+…+a_n的值.

解：(1)A的3元素子集的个数为n=C=120.

(2)在A的3元素子集中，含数k(1≤k≤10)的集合个数有C个，因此a₁+a₂+…+a_n=

C×(1+2+3+…+10)=1980.

评述：在求从n个数中取出m(m≤n)个数的所有组合中各组合中数字的和时，一般先求出含每个数字的组合的个数，含每个数字的个数一般都相等，故每个数字之和与个数之积便是所求结果.

[例3] 从1，2，…，30这30个自然数中，每次取不同的三个数，使这三个数的和是3的倍数的取法有多少种？

解：令A={1，4，7，10，…，28}，B={2，5，8，11，…29}，C={3，6，9，…，30}组成三类数集，有以下四类符合题意：①A，B，C中各取一个数，有CCC种；②仅在A中取3个数，有C种；③仅在B中取3个数，有C种；④仅在C中取3个数，有C种.故由加法原理得共有C·C·C+3C=1360种.

评述：按元素的性质分类是处理带限制条件的组合问题的常用方法，对于某几个数的和能被某数整除一类的问题，通常是将整数分类，凡余数相同者归同一类.

思考讨论

讨论下面的问题：

用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字的能被25整除的四位数多少个？

提示：能被25整除的数的后两位是25或50，后两位是50的数有A个，后两位是25的数有3×3=9个，所以能被25整除的四位数的个数为A+9=21.

[例4] 如图，从一个3×4的方格中的一个顶点A到对顶顶点B的最短路线有几条？

解：从A到B的最短路线，均需走7步，包括横向的4步和纵向的3步，于是我们只要确定第1，2，…，7步哪些是横向的，哪些是纵向的就可以了，实际只要确定哪几步是横向走.所以每一条从A到B的最短路线对应着从第1，2，…，7步取出4步(横向走)的一个组合，因此从A到B的最短路线共有C=C=35条.

深化拓展

4.(2003年东北三校模拟题)将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色.若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为_____________.

解析：设四棱锥为P-ABCD.(1)P：C，A：C，B：C，C与B同色：1，D：C.

(2)P：C，A：C，B：C，C与B不同色C，D：C.

共有C·C·C·1·C+C·C·C·C·C=420.

答案：420

3.已知{1，2}X{1，2，3，4，5}，满足这个关系式的集合X共有_____________个.

A.2　　　　　　　　　　　　　　　 B.6　　　　　　　　　　　　　　　 C.4　　　　　　　　　　　　　　　 D.8

解析：由题意知集合X中的元素1，2必取，另外可从3，4，5中可以不取，取1个，取2个，取3个，

故有C+C+C+C=8(个).

答案：D

2.(2004年北京，理17)从长度分别为1、2、3、4、5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n种.在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m，则等于

A.　　　 　　　　　　　　 B.　　　 　　　　　　　　　 C.　　　 　　　　　　　　 D.

解析：n=C=10，由余弦定理知可组成钝角三角形的有“2、3、4”和“2、4、5”，故m=2.

∴==.

答案：B

1.从4台甲型电脑和5台乙型电脑中任取3台，其中两种电脑都要取，则不同的取法种数是

A.140　　 　　　　　　　　　 B.84 　　　　　　　　　　　　　　　 C.70　　 　　　　　　　　　　　　　　 D.35

解析：取3台分两类：①2台甲型1台乙型，有C·C种；

②1台甲型2台乙型，有C·C种.

∴C·C+C·C=30+40=70(种).

答案：C

特别提示

先从甲型、乙型中各抽1台，有C·C种，再从余下的中选1台，有C种，

故有C·C·C=140(种).解法不正确.