摘要：已知函数f(x)=x(1-x2).x∈R. (1)当x＞0时.求f(x)的最大值, (2)当x＞0时.指出f(x)的单调性.并用定义证明, (3)试作出函数f(x)(x∈R)的简图. 解:(1)∵x＞0.欲求f(x)的最大值.必有1-x2＞0. y2=x2(1-x2)2=·2x2(1-x2)(1-x2)≤·［］3=. ∴y≤=. 当且仅当2x2=1-x2.即x=时.取“= .即f(x)max=f()=. 知.当x∈(0.］时.f(x)单调递增.x∈［.+∞)时.f(x)单调递减. 设x2＞x1＞0.则 f(x2)-f(x1)=-x23+x2-(-x13+x1) =(x2-x1)-(x2-x1)(x22+x1x2+x12) =(x2-x1)［1-(x22+x1x2+x12)］. 当0＜x1＜x2≤时.x2-x1＞0.1-(x22+x1x2+x12)＞0.∴f(x2)＞f(x1).∴f(x)在(0.］上递增. 当≤x1＜x2时.x2-x1＞0.1-(x22+x1x2+x12)＜0.∴f(x2)＜f(x1).∴f(x)在［.+∞)上递减. ..关于原点对称. 评述:第(1)题也可用导数解决. ∵(x)=1-3x2. 令(x)=0.∴x=±. 又x＞0.∴x=. 通过检验单调性知.当x=时.f(x)取得最大值.其最大值为.以下解法同上. ●思悟小结

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