摘要：设函数f(x)=x2+x+的定义域是［n.n+1］(n∈N).问f(x)的值域中有多少个整数? 解:∵f(x)=(x+)2+的图象是以(-.)为顶点.开口向上的抛物线.而自然数n＞-.∴f(x)的值域是［f(n).f(n+1)］.即［n2+n+.n2+3n+］.其中最小的整数是n2+n+1.最大的整数是n2+3n+2.共有(n2+3n+2)-(n2+n+1)+1=2n+2个整数.
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的定义域是［n，n+1］（n∈N），问f（x）的值域中有多少个整数？
设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合：“①方程f(x)-x=0有实数根；②函数f(x)的导数f′(x)满足0＜f′(x)＜1.”
(Ⅰ)判断函数f(x)=
+
是否是集合M中的元素，并说明理由；
(Ⅱ)集合M中的元素f(x)具有下面的性质：若f(x)的定义域为D，则对于任意［m,n］
D，都存在x0∈［m,n］，使得等式f(n)-f(m)=(n-m)f′(x0)成立，试用这一性质证明：方程f(x)-x=0只有一个实数根；
(Ⅲ)设x1是方程f(x)-x=0的实数根，求证：对于f(x)定义域中任意的x2，x3，当|x2-x1|＜1，且|x3-x1|＜1时，|f(x3)-f(x2)|＜2.
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