2.某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2000元降到1280元，则这种手机平均每次降价的百分率是

A.10%　　　　　　　　　　　　 B.15%　　　　　　　　　　　　 C.18%　　　　　　　　　　　　 D.20%

解析：设降价百分率为x%，

∴2000(1－x%)²=1280.解得x=20.

答案：D

1.设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2ⁿ+n，则在映射f下，象20的原象是

A.2　　　 　　　　　　　　　 B.3 　　　　　　　　　　　　 C.4　　　 　　　　　　　　　　 D.5

解析：由2ⁿ+n＝20求n，用代入法可知选C.

答案：C

5.(2004年浙江，文9)若函数f(x)=log_a(x+1)(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是［0，1］，则a等于

A. 　　　　　　　　　　　 B. 　　　　　　　　　　 C.　　 　　　　　　　　 D.2

解析：f(x)=log_a(x+1)的定义域是［0，1］，∴0≤x≤1，则1≤x+1≤2.

当a＞1时，0=log_a1≤log_a(x+1)≤log_a2=1，∴a=2；

当0＜a＜1时，log_a2≤log_a(x+1)≤log_a1=0，与值域是［0，1］矛盾.

综上，a=2.

答案：D

●典例剖析

[例1] 试判断以下各组函数是否表示同一函数？

(1)f(x)=，g(x)=；

(2)f(x)=，g(x)=

(3)f(x)=，g(x)=()^2n－1(n∈N^*)；

(4)f(x)=，g(x)=；

(5)f(x)=x²－2x－1，g(t)=t²－2t－1.

剖析：对于两个函数y=f(x)和y=g(x)，当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f(x)和y=g(x)才表示同一函数.若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然.

解：(1)由于f(x)==|x|，g(x)==x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.

(2)由于函数f(x)=的定义域为(－∞，0)∪(0，+∞)，而g(x)=的定义域为R，所以它们不是同一函数.

(3)由于当n∈N^*时，2n±1为奇数，∴f(x)==x，g(x)=()^2n－1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.

(4)由于函数f(x)=的定义域为{x|x≥0}，而g(x)=的定义域为{x|x≤－1或x≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.

(5)函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.

评述：(1)第(5)小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透.要知道，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如f(x)=x²+1，f(t)=t²+1，f(u+1)=(u+1)²+1都可视为同一函数.

(2)对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数.

[例2] 集合A={3，4}，B={5，6，7}，那么可建立从A到B的映射个数是__________，从B到A的映射个数是__________.

剖析：从A到B可分两步进行：第一步A中的元素3可有3种对应方法(可对应5或6或7)，第二步A中的元素4也有这3种对应方法.由乘法原理，不同的映射种数N₁＝3×3＝9.反之从B到A，道理相同，有N₂＝2×2×2＝8种不同映射.

答案：9　 8

深化拓展

设集合A中含有4个元素，B中含有3个元素，现建立从A到B的映射f:A→B，且使B中每个元素在A中都有原象，则这样的映射有___________________个.

提示：因为集合A中有4个元素，集合B中有3个元素，根据题意，A中必须有2个元素有同一个象，因此，共有CA=36个映射.

答案：36

[例3] (2004年广东，19)设函数f(x)=|1－|(x＞0)，证明：当0＜a＜b，且f(a)=f(b)时，ab＞1.

剖析一：f(a)=f(b)|1－|=|1－|(1－)²=(1－)²2ab=a+b≥2ab＞1.

证明：略.

剖析二：f(x)=

证明：f(x)在(0，1］上是减函数，在(1，+∞)上是增函数.由0＜a＜b且f(a)= f(b)，得0＜a＜1＜b且－1=1－，即+=2a+b=2ab≥2ab＞1.

评注：证法一、证法二是去绝对值符号的两种基本方法.

●闯关训练

夯实基础

4.(2004年全国Ⅲ，理5)函数y=的定义域是

A.［－，－1)∪(1，］　　　　　　　　　　 B.(－，－1)∪(1，)

C.［－2，－1)∪(1，2］　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.(－2，－1)∪(1，2)

解析：－≤x＜－1或1＜x≤.

∴y=的定义域为［－，－1)∪(1，］.

答案：A

3.(2004年全国Ⅰ，理2)已知函数f(x)=lg，若f(a)=b，则f(－a)等于

A.b　　　 　　　　　　　　　 B.－b　　 　　　　　　　　　　 C.　　 　　　　　　　　　　 　　　 D.－

解析：f(－a)=lg=－lg=－f(a)=－b.

[答案] B

2.设M={x|－2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图象可以是

解析：A项定义域为［－2，0］，D项值域不是［0，2］，C项对任一x都有两个y与之对应，都不符.故选B.

答案：B

1.设集合A=R，集合B=正实数集，则从集合A到集合B的映射f只可能是

A.f:x→y=|x|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.f:x→y=

C.f:x→y=3^－x D.f:x→y=log₂(1+|x|)

解析：指数函数的定义域是R，值域是(0，+∞)，所以f是x→y=3^－x.

答案：C

3.映射的定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应(包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.

由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集.

特别提示

函数定义的三要素是理解函数概念的关键，用映射的观点理解函数概念是对函数概念的深化.

●点击双基

2.两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.

1.函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A，其中x叫做自变量.x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.