3．扇形面积的应用

　 　例2：扇形AOB的半径为l2cm，∠AOB＝120°，求的长(结果精确到O.1cm)和扇形A0B的面积(结果精确到O.1cm) ．

　　 分析：要求弧长和扇形面积，根据公式需要知道半径R和圆心角即可，本题中这些条件已经告诉了，因此这个问题就解决了．

　　 解：的长=25.1cm．

　　 　=150.7cm．

　　 因此，的长约为25.1cm，扇形AOB的面积约为150.7cm．

2．弧长与扇形面积的关系

　　 我们探讨了弧长和扇形面积的公式。在半径为R的圆中，°的圆心角所对的弧长的计算公式为，°的圆心角的扇形面积公式为，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角．半径R有关系，因此和S之间也有一定的关系，你能猜得出吗?请大家互相交流．

　 　∵，

　 ∴

　 ∴

1．想一想

　　 在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗．

　 (1)这只狗的最大活动区域有多大?

　 (2)如果这只狗只能绕柱子转过°角，那么它的最大活动区域有多大?

　　 (1)如图(1)，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即．

　　 (2)如图(2)，狗的活动区域是扇形。扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的圆面积，l°的圆心角对应圆面积的，即×＝，°的圆心角对应的圆面积为×＝．

　 如果圆的半径为R，则圆的面积为，l°的圆心角对应的扇形面积为，°的圆心角对应的扇形面积为．

因此扇形面积的计算公式为

其中R为扇形的半径，为圆心角．

3．例题讲解

例1：制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料。试计算下图中管道的展直长度，即的长(结果精确到O.1mm) ．

　　 分析：要求管道的展直长度，即求的长，根据弧长公式可求得的长，其中n为圆心角，R为半径，

　　 解：R＝40 mm，＝110．

　　 ∴的长=

　　 因此，管道的展直长度约为76．8mm．

　　 1复习

　　 (1)．圆的周长如何计算?

　　 (2)．圆的面积如何计算?

　　 (3)．圆的圆心角是多少度?

　　 (若圆的半径为r，，则周长，面积，圆的圆心角是360°．)

2．探索弧长的计算公式

如右图，某传送带的一个转动轮的半径为lO．

(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米?

(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米?

(3)转动轮转°，传送带上的物品A被传送多少厘米?

　　 分析：转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长；因为圆的周长对应360°的圆心角，所以转动轮转l°，传送带上的物品A被传送圆周长的；转动轮转°，传送带上的物品A被传送转l°时传送距离的倍．

　　 解：(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送×lO＝20cm；

　　 　　(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送；

　　　 (3)转动轮转。，传送带上的物品A被传送．

　　 根据上面的计算，你能猜想出在半径为R的圆中，°的圆心角所对的弧长的计算公式吗?请大家互相交流．

　　 根据刚才的讨论可知，360°的圆心角对应圆周长2，那么1°的圆心角对应的弧长为，°的圆心角对应的弧长应为1°的圆心角对应的弧长的倍，即．

　　 在半径为R的圆中，°的圆心角所对的弧长的计算公式为：．

　　 下面我们看弧长公式的运用．

　　 在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的-部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算?它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢?本节课我们将进行探索．

[例]如图，已知正三角形ABC的边长为a，分别以A、B、C为圆心，以为半径的圆相切于点O₁、O₂、O₃．求弧O₁O₂，弧O₂O₃，弧O₃O₁,围成的图形面积S(图中阴影部分)．

　　 分析：阴影部分的面积等于△ABC的面积减去三个扇形AO₁O₃、BO₁O₂、CO₂O₃的面积，而这三个扇形面积相等．

　　 解：∵S_△ABC=a· a²，

　　 S_扇形AO1O3=a²，

　　 ∴S_阴影＝S_△ABC-3S_扇形AO1O3 =a²

备课资料

6．扇形面积的应用．

5．弧长及扇形面积的关系；