2、(2005年北京市)已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A，抛物线经过O、A两点。

　 　　(1)试用含a的代数式表示b；

　 　　(2)设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；

(3)设点B是满足(2)中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

1．(2005年资阳市)．如图9，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为(2,0).

(1) 求点B的坐标；

(2) 若二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；

(3) 在(2)中的二次函数图象的OB段(不包括点O、B)上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由.

5、(2005年无锡)已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC.

(1)将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置(如图1).

①设AB的长为a，PB的长为b(b<a)，求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域(图1中阴影部分)的面积；

②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.

(2)如图2，若PA²+PC²=2PB²，请说明点P必在对角线AC上.

例2(2005年玉溪)如图21，已知抛物线的图象与x轴交于A、C两点。

　 (1)若抛物线关于x轴对称，求的解析式；(3分)

　 (2)若点B是抛物线上一动点(B不与A、C重合)，以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点记为D，求证：点D在上；(4分)

(3)探索：当点B分别位于在x轴上、下两部分的图象上时，□ABCD的面积是否存在最大值或最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形并求出它的面积；若不存在，请说明理由。(4分)

解：

(1)设的解析式为y＝.

　　　　 ∵与x轴的交点A(－2，0)，C(2，0)，顶点坐标是(0，－4)，

　　　　　 并且与关于x轴对称，

　　　　 ∴经过点A(－2，0)，C(2，0)，顶点坐标是(0，4)

　　　　 ∴y＝.　　　　 ∴0＝4a+4　　　 得a＝－1，

　∴的解析式为.

　　　 (2)设B() ∵点B在上，∴B()　　

∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称。∴B、D关于原点O对称，

∴D().

将D()的坐标代入：

　　　　　 可知 左边＝右边。∴点D在上。　　

　　 (3)设□ABCD的面积为S，则S＝2×.

　　　　 (I)当点B在x轴上方时，＞0，

　　　　　　 ∴，它是关于的正比例函数且S随的增大而增大，

　　　　　　 　∴S既无最大值也无最小值。

(II)当点B在x轴下方时，-4≤＜0.

∴，它是关于的正比例函数且S随的增大而减小，

　　　　　　 ∴当＝－4时，S有最大值16，但它没有最小值。

此时B(0，－4)在y轴上，它的对称点D也在y轴上。

∴AC⊥BD.∴□ABCD是菱形。此时.　

说明：考查了轴对称的有关性质，一次函数和二次函数的解析式的求法及它们性质的应用，还考查了平行四边形、菱形的判定及性质应用。

练习二

4、(2005年浙江)如图，边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上．动点D在线段BC上移动(不与B，C重合)，连接OD，过点D作DE⊥OD，交边AB于点E，连接OE．记CD的长为t．

(1) 当t＝时，求直线DE的函数表达式；

(2) 如果记梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由；

(3) 当OD²+DE　²的算术平方根取最小值时，求点E的坐标．

3、(2005年辽宁)如图，⊙C经过坐标原点O，分别交x轴正半轴、y轴正半轴于点B、A，点B的坐标为(4，0)，点M在⊙C上，并且∠BMO=120º。

　 (1)求直线AB的解析式；

　 (2)若点P是⊙C上的点，过点P作⊙C的切线PN，若∠NPB=30º，求点P的坐标；

　 (3)若点D是⊙C上任意一点，以B为圆心，BD为半径作⊙B，并且BD的长为正整数。

①问这样的圆有几个?它们与⊙C有怎样的位置关系?

②在这些圆中，是否存在与⊙C所交的弧(指⊙B上的一条弧)为90º的弧，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由。

2、(2005年武汉)如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为(－4，0)，以点为圆心，8为半径的圆与x轴交于A、B两点，过点A作直线l与x轴负方向相交成60°角。以点(13，5)为圆心的圆与x轴相切于点D.

(1)求直线l的解析式；

(2)将⊙以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，同时直线l沿x轴向右平移，当⊙第一次与⊙相切时，直线l也恰好与⊙第一次相切，求直线l平移的速度；

(3)将⊙沿x轴向右平移，在平移的过程中与x轴相切于点E，EG为⊙的直径，过点A作⊙的切线，切⊙于另一点F，连结A、FG，那么FG·A的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。

1、(2005年贵阳市)在Rt⊿ABC中，∠C =，AC = 6，BC = 8，点O在CB上，且AO平分∠BAC，CO = 3(如图所示)，以点O为圆心，为半径画圆；

(1)取何值时，⊙O与AB相切；

(2)取何值时，⊙O与AB有两个公共点？

(3)当⊙O与AB相切时，设切点为D，在BC上是否存在点P，使⊿APD的面积为⊿ABC的面积的一半？若存在，求出CP的长，若不存在，请说明理由；

10．(13分)如图2－6－20所示，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE，交 BC于 D，交AB于E，F在DE上，并且A F＝CE．

⑴ 求证：四边形ACEF是平行四边形；

⑵ 当∠B的大小满足什么条件时，四边形A CEF是菱形？请回答并证明你的结论；

⑶ 四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？

9．已知二次函数的图象过A(－3，0)，B(1，0)两点．

⑴ 当这个二次函数的图象又过点以0，3)时，求其解析式；

⑵ 设⑴中所求 M次函数图象的顶点为P，求S_ΔAPC：S_ΔABC的值；

⑶ 如果二次函数图象的顶点M在对称轴上移动，并与y轴交于点D，S_ΔAMD：S_ΔABD的值确定吗？为什么？

8．(10分)某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论．一是发现抛物线y=ax²+2x+3(a≠0)，当实数a变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数a变化时，若把抛物线y=ax²+2x+3(a≠0)的顶点的横坐标减少，纵坐标增加，得到A点的坐标；若把顶点的 横坐标增加，纵坐标增加，得到B点的坐标，则A、B两点一定仍在抛物线y=ax²+2x+3(a≠0)上．

⑴ 请你协助探求出实数a变化时，抛物线y=ax²+2x+3(a≠0)的顶点所在直线的解析式；

⑵ 问题⑴中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗？并说明理由；

⑶ 在他们第二个发现的启发下，运用“一般→特殊→一般”的思想，你还能发现什么？你能用数学语言将你的猜想表述出来吗？你的猜想能成立吗？若能成立，请说明理由。