3、(2005年潜江、仙桃、江汉油田)我们做一个拼图游戏：用等腰直角三角形拼正方形。请按下面规则与程序操作：

第一次：将两个全等的等腰直角三角形拼成一个正方形；

第二次：在前一个正方形的四条边上再拼上四个全等的等腰直角三角形(等腰直角三角形的斜边与正方形的边长相等)，形成一个新的正方形；

以后每次都重复第二次的操作-------

(1)请你在第一次拼成的正方形的基础上，画出第二次和第三次拼成的正方形图形；

(2)若第一次拼成的正方形的边长为a，请你根据操作过程中的观察与思考填写下表：

2、(2005年河北)操作示例:

对于边长为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图1所示的方式摆放，在沿虚线BD，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图1中的四边形BNED。

从拼接的过程容易得到结论：

①四边形BNED是正方形；

②S_{正方形ABCD}+S_{正方形EFGH}＝S_{正方形BNED}。

实践与探究

(1)对于边长分别为a，b(a＞b)的两个正方形ABCD和EFGH，按图2所示的方式摆放，连接DE，过点D作DM⊥DE，交AB于点M，过点M作MN⊥DM，过点E作EN⊥DE，MN与EN相交于点N。

①证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积；

②在图11－2中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED，请简略说明你的拼接方法(类比图1，用数字表示对应的图形)。

(2)对于n(n是大于2的自然数)个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接成为一个正方形？请简要说明你的理由。

1、已知：直线a∥b，P、Q是直线a上的两点，M、N是直线b上两点。

(1)如图①，线段PM、QN夹在平行直线a和b之间，四边形PMNQ为等腰梯形，其两腰PM＝QN。

请你参照图①，在图②中画出异于图①的一种图形，使夹在平行直线a和b之间的两条线段相等。

(2)我们继续探究，发现用两条平行直线a、b去截一些我们学过的图形，会有两条“曲线段相等”(曲线上两点和它们之间的部分叫做“曲线段”。把经过全等变换后能重合的两条曲线段叫做“曲线段相等”)。

请你在图③中画出一种图形，使夹在平行直线a和b之间的两条曲线段相等。

(3)如图④，若梯形PMNQ是一块绿化地，梯形的上底PQ＝m，下底MN＝n，且m＜n。现计划把价格不同的两种花草种植在S₁、S₂、S₃、S₄四块地里，使得价格相同的花草不相邻。为了节省费用，园艺师应选择哪两块地种植价格较便宜的花草？请说明理由。

4、(2005深圳南山区)．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2．E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F．

(1) 　求OA、OC的长；

(2)求证：DF为⊙O′的切线；

(3)小明在解答本题时，发现△AOE是等腰三角形．由此，他断定：“直线BC上一定存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形，且点P一定在⊙O′外”．你同意他的看法吗？请充分说明理由．

能力训练

3、(2005年内江)教师提出：如图A(1,0)，AB＝OA，过点A、B作x轴的垂线交二次函数的图象于C、D两点，直线OC交BD于点M，直线CD交y轴于点H，记点C、D的横坐标分别为，点H的纵坐标为。

同学讨论发现：①2 ：3 ②

⑴请你验证①②结论成立；

⑵请你研究：如将上述条件“A(1，0)”改为“A”，其他条件不娈，结论①是否仍成立？

⑶进一步研究：在⑵的条件下，又将条件“”改为“，其他条件不娈，那么和有怎样的数值关系？(写出结果并说明理由)

2、(北京丰台)在直角坐标系中，⊙经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B。

　　 (1)如图，过点A作⊙的切线与y轴交于点C，点O到直线AB的距离为，求直线AC的解析式；

　　 (2)若⊙经过点M(2，2)，设的内切圆的直径为d，试判断d+AB的值是否会发生变化，如果不变，求出其值，如果变化，求其变化的范围。

1、(包头)已知一次函数y₁=x，二次函数y₂=x²+。

　 (1)根据表中给出的x的值，填写表中空白处的值；(2分)

x	―3	―2	―1	0	1	2	3
y1=x	―3	―2	―1	0	1	2	3
y2=x2+			1		1

　　 (2)观察上述表格中的数据，对于x的同一个值，判断y_l和y₂的大小关系。并证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y₁和y₂的大小关系仍然成立；

　 (3)若把y₁=x换成与它平行的直线y=x+k(k为任意非零实数)，请进一步探究：当k满足什么条件时，(2)中的结论仍然成立；当k满足什么条件时，(2)中的结论不能对任意的实数x都成立，并确定使(2)中的结论不成立的x的范围。

5、如图1，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG＞BC)，取线段AE的中点M。

探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。

说明：(1)如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步)；(2)在你经历说明(1)的过程之后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。

注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分；选取③完成证明得5分。

①　　　　 DM的延长线交CE于点N，且AD＝NE；

②　　　　 将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°(如图2)，

其他条件不变；③在②的条件下且CF＝2AD。

附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后(如图3)，其他条件不变。探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。

例2(连云港)如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在处，两直角边分别与轴平行，纸板的另两个顶点恰好是直线与双曲线的交点．

(1)求和的值；

(2)设双曲线在之间的部分为，让一把三角尺的直角顶点在上

滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段交于两点，请探究是否存在点使得，写出你的探究过程和结论．

知识点：

解：(1)∵在双曲线上，∥轴，∥轴，

∴A，B的坐标分别，．　　　　　　　　

又点A，B在直线上，∴　　

　 解得或　　　　　　　　　　　　

当且时，点A，B的坐标都是，不合题意，应舍去；

当且时，点A，B的坐标分别为,,符合题意．

∴且.

(2)假设存在点使得．

∵ ∥轴，∥轴，∴∥，

∴，∴Rt∽Rt,∴,

设点P坐标为(1＜x＜8＝，则M点坐标为，

∴.又，

∴，即　　(※)　　

∵．∴方程(※)无实数根．

所以不存在点使得．　　　　　　　　　　

练习二

⑴方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽(如图1)．

若∠ACB=90°，设AC=x厘米，该水槽的横截面面积为y厘米²，请你写出y关于x的函数关系式(不必写出x的取值范围)，并求出当x取何值时，y的值最大，最大值又是多少？

方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽(如图2)．

若∠ABC=120°，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的y的最大值比较大小．

⑵假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供两种方案，使你所设计的水槽的横截面面积更大．画出你设计的草图，标上必要的数据(不要求写出解答过程)．

3(绵阳)如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，则不难证明S₁=S₂+S₃ .

(1) 如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，那么S₁、S₂、S₃之间有什么关系？(不必证明)

(2) 如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，请你确定S₁、S₂、S₃之间的关系并加以证明；

(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，为使S₁、S₂、S₃之间仍具有与(2)相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论；

(4) 类比(1)、(2)、(3)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论 .

4.(江苏)取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：

第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图(1)；

第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为，得Rt△AE，如图(2)；

第三步：沿EB`线折叠得折痕EF，如图(3)。

利用展开图(4)探究：

(1)△AEF是什么三角形？

(2)对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由。

9、解：(1)∵ABCD是矩形，MN∥AD，EF∥CD∴四边形PEAM、PNCF也均为矩形

∴＝PM·PE＝，＝PN·PF＝

又∵BD是对角线， ∴△PMB≌△BFP，△PDE≌△DPN，△DBA≌△DBC

　 ∵，

　 ∴＝　∴

(2)成立，理由如下：

　　 ∵ABCD是平行四边形，MN∥AD，EF∥CD

　　 ∴四边形PEAM、PNCF也均为平行四边形

　　 仿(1)可证

过E作EH⊥MN于点H，则

∴

同理可得

　　　　　 又∵∠MPE＝∠FPN＝∠A

∴

∴PM·PE＝PN·PF，即

(3)方法1：存在，理由如下：

　　　　 由(2)可知，

又∵，即，，

而，

∴，即∴，

故存在实数或，使得.