(一)圆的有关性质,本节中最重要的定理有4个.

　　 1.垂径定理:本定理和它的三个推论说明: 在(1)垂直于弦(不是直径的弦);(2)平分弦;(3)平分弦所对的弧;(4)过圆心(是半径或是直径)这四个语句中,满足两个就可得到其它两个的结论.如垂直于弦(不是直径的弦)的直径,平分弦且平分弦所对的两条弧。条件是垂直于弦(不是直径的弦)的直径，结论是平分弦、平分弧。再如弦的垂直平分线,经过圆心且平分弦所对的弧。条件是垂直弦,、分弦,结论是过圆心、平分弦.

应用:在圆中,弦的一半、半径、弦心距组成一个直角三角形,利用勾股定理解直角三角形的知识,可计算弦长、半径、弦心距和弓形的高.

2.圆心角、弧、弦、弦心距四者之间的关系定理：在同圆和等圆中, 圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中有一组量相等,则其它各组量均相等.这个定理证弧相等、弦相等、圆心角相等、弦心距相等是经常用的.

3.圆周角定理：此定理在证题中不大用,但它的推论,即弧相等所对的圆周角相等；在同圆或等圆中,圆周角相等,弧相等.直径所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径,都是很重要的.条件中若有直径,通常添加辅助线形成直角.

4.圆内接四边形的性质:略.

(二)填空题:

1.若圆的半径是2cm,一条弦长是,则圆心到该弦的距离是______.

2.在⊙O中,弦AB为24,圆心到弦的距离为5,则⊙O的半径是______cm.

3.若AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于E,AE=9cm,BE=16cm,则CD=______cm.

4.　　　　　 若⊙O的半径是13cm,弦AB=24cm,弦CD=10cm,AB∥CD,则弦AB与CD之间的距离是______cm.

5.　　　　　 ⊙O的半径是6,弦AB的长是6,则弧AB的中点到AB的中点的距离是______.

6.　　　　　 如图:⊙O的直径AB⊥CD于P,

AP=CD=4cm,则OP=______cm.

7.　　　　　 已知⊙O中,AB是弦,CD是直径,且CD⊥AB于M.⊙O的半径是15cm,OM:OC=3:5,则AB=______.

8.　　　　　 已知O到直线l的距离OD是cm,l上一点P,PD=cm.⊙O的直径是20,则P在⊙O______.

(三)证明题:

1.如图:AB是⊙O的直径,CD是弦

　　　 CE⊥CD于C,DF⊥CD于D

求证:AE=BF

2.⊙O和⊙O1相交于A,B.过A做CAD∥OO1

求证:CD=2OO1

(一)判断题

1.直径是弦.(　 )

2.半圆是弧,但弧不一定是半圆. (　 )

3.到点O的距离等于2cm的点的集合是以O为圆心,2cm为半径的圆. (　 )

4.过三点可以做且只可以做一个圆. (　 )

5.三角形的外心到三角形三边的距离相等. (　 )

6.经过弦的中点的直径垂直于弦,且平分弦所对的两条弧. (　 )

7.经过圆O内一点的所有弦中,以与OP垂直的弦最短. (　 )

8.弦的垂直平分线经过圆心. (　 )

9.⊙O的半径是5,弦AB∥CD,AB=6,CD=8,则两弦间的距离是1. (　 )

10.在半径是4的圆中,垂直平分半径的弦长是.(　 )

11.任意一个三角形一定有一个外接圆且只有一个外接圆. (　 )

3.垂径定理:是圆中一个极重要的定理.

垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弦.

推论(1):平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,且平分弦所对的两条弦(注意括号内的条件)

　　 (2):弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.

　　 (3):平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦且平分弦所对的另一条弧.

此定理和三个推论的内容是平分弦,垂直弦是直径平分弧.在这四个条件中满足两个就可得到其它两个的结论.如垂直于弦是直径得到平分弦.平分弧(垂径定理)平分弦,是直径可得到垂直弦.平分弧(推论1)垂直弦,平分弦可得到这条直径是直径,且平分弦(推论2)

注意:题设是两条,如

∵AB是直径

　 AB⊥CD于E

∴CE=DE　

　 弧AC=弧DA　 弧BC=弧DB

具体做题时,辅助线往往过圆心做弦的垂线段.连结圆心,则半径,弦的一半,圆心到弦的距离形成一个RtΔ,则可用勾股定理,锐角三角函数进行计算或证明.

2.过一点的圆有无数个,它的圆心是平面上除A外所有点.过两点的圆有无数个,它们的圆心在AB的垂直平分线上.过三点呢?若这三点不在同一直线上,过三点可以做且只可以做一个圆.(但这三点在同一直线上,则不能过三点作圆).

若把三点连结起来,构成三角形,则经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆.

外接圆的圆心叫三角形外心.外心的性质是到三角形各顶点的距离相等.

三角形的外接圆的做法:作三角形两边的中垂线,两条中垂线的交点是圆心,圆心到顶点的距离是半径.

1.第一自然段主要说明

　 ①圆的概念:此概念有2种解释

1)线段OA绕端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转一周,所组成的图形叫圆.

2)到定点的距离等于定长的点的集合.

　 ②圆心,半径,固定端点O叫圆心,OA的长叫半径.

　　 作圆要两个条件:圆心确定圆的位置,圆心确定圆的大小.

　 ③圆内部分:到定点(圆心)的距离小于定长(半径)的点的集合.

圆外部分:到定点(圆心)的距离大于定长(半径)的点的集合.

要确定一个点在圆上,圆外还是圆内,就要计算端点到圆心的距离,计算出距离与半径比较.若该距离d>r,则点在圆外,d=r,在圆上,d<r在圆内.

如⊙O的半径r=5cm,圆心O到直线l的距离d=OP=3cm.在l上有P,Q,R三点,且PD=4cm,QD>4cm,RD<4cm,则P,Q,R三点在⊙O的什么位置.

解:连结OP　 ∵PD=4cm　 OD=3cm

　 由勾股定理得:OP=5cm　 OP=r　 ∴P在⊙O上

　 ∵QD>4cm　 OD=3cm　 连结OQ

　　 则OQ²=OP²+QD²>25　 ∴OQ>5cm　 ∴Q在⊙O外

　　 用同样方法证得R在⊙O内.

④弦:连结圆上位意两点的线段,

　 如线段CD

　 经过圆心的弦叫直径

　 如AB(直径是圆的最大的弦)

⑤弧:圆上任意两点间的部分,弧若大于半圆叫优弧,小于半圆叫劣弧.

⑥弓形:由弦及其所对的弧组成的图形叫

弓形.弦CD与弧CD及弦CD及优弧CD所有两个弓形.

⑦同心圆:圆心相同,半径不相等的两个圆叫同心圆.

⑧能够重合(或半径相等)的两个圆是等圆.

⑨在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫等弧。

(注意:只要说两弧是等弧,就说明这两段弧在同圆或等圆上)

例1、　　 已知两圆的半径R，r(R≥r)是方程的两个根，两圆的圆心距为d，

(1)若d＝4，试判定两圆的位置关系；

(2)若d＝2，试判定两圆的位置关系；

(3)若两圆相交，试确定d的取值范围；

(4)若两圆相切，求d的值。

解：∵R，r是方程的两根

∴R+r＝3，R·r＝1

则，

(1)∵d＝4　　　　 ∴d＞R+r，则两圆外离；

(2)∵d＝2　　　　 ∴d＜R－r，则两圆内含；

(3)∵两圆相交　　　 ∴R－r＜d＜R+r，即：＜d＜3

(4)∵两圆相切　　　 ∴d＝R+r或d＝R－r，即：d＝3或d＝

注意：两圆相切有两种可能(内切或外切)

例2：如图(4)，⊙o₁与⊙o₂相交于A、B，直线Ao₁交⊙o₁于C，交⊙o₂于D，CB的延长线交⊙o₂于E，若CD＝10，DE＝6，求⊙o₂的长。

解：连结AB、AE

AC为⊙o₁的直径　

ABCD内接于⊙o₂

AE为⊙o₂的直径o₂为AE中点 　　

　　　　　　　　 o₁为AC中点

在中，　

　　　　　　　 CD＝10，DE＝6

注意：两圆相交时，常添公共弦、连心线等作为辅助线，这些辅助线能把两圆中的角或线段联系起来，起到“桥梁”作用。

例3：

如图(5)，⊙o₁与⊙o₂相交于A、B，CE切⊙o₁于C，交⊙o₂于D、E

求证：

分析：因，所以只需证

，联想到两圆相交时常添的辅助线，再运用弦切角定理及圆内接四边形性质，问题易得证。

　　 证：连结AB

　　　 CD切⊙o₁于C　

　　　 BEDA内接于⊙o₂

注意：如果⊙o₁的切线CE与⊙o₂也相切于E(D、E重合)，则

成立吗？

例4：如图(6)，⊙o₁与⊙o₂内切于A，过A作大圆的弦AD、AE分别交小圆于B、C。求证：

分析：要证，只需证，即要证BC∥DE；

证明：过点A作⊙o₁与⊙o₂的公切线AT，则：

　　 ∵　　　 ∴BC∥DE

　　 ∴，即：

例5：如图(7)，⊙o₁与⊙o₂外切于A，BC分别切⊙o₁和⊙o₂于B、C，CA交⊙o₁于D，求证：

证明：过点A作⊙o₁、⊙o₂的公切线AE交BC于E，连结AB

EB、EA为⊙o₁的切线EB＝EA　 EC＝EB＝EA

　　　　　　　　 同理：EC＝EA　　　　　

BD为⊙o₁的直径　 　

　　　　　　　　 BC为⊙o₁的切线　　 　

∽

注意：当两圆外切线内切时，公切线是常添的辅助线。

例6：如图(8)，两圆内切于点C，⊙o₁的弦AB切⊙o₂于E，CE的延长线交⊙o₁于点D，求证：

分析：要证

只须证，即要证∽，因两圆内切，所以可过点C作

公切线MN，从而证得：

又因为，从而问题得以解决。

证明：过点C作⊙o₁与⊙o₂的公切线MN，连结EF、AC，

则有：

又∵AB为⊙o₂的切线，　　 ∴

　 ∴

又∵

　 ∴∽　　　 ∴

即：

注：本讲内容较多，例题也比较详细、全面，因此不再单独设立练习题。

5、　 当两圆相交、外切、外离时，总有两条外公切线，且这两条外公切线长相等。如果两圆相等，那么两条外公切线平行；如果两圆不等，那么两条外公切线相交，且交点在两圆的连心线上。当两圆相切时，常作两圆的公切线为辅助线。

4、求两圆的内、外公切线长的问题，都是利用直线和圆相切的性质，通过作出过切点的半径，把问题转化为解一个直角三角形。

在图(2)、图(3)中，o₁o₂＝d，⊙o₁半径为R，⊙o₂的半径为r，则在中：

图(2)：

图(3)：

当两圆外切时，d＝R+r，此时

外公切线长＝

3、　 两圆的五种位置关系中，重点讨论了两圆相交、相切的性质，在解决两圆的相交问题时，如图(1)，常添连心线、公共弦等辅助线，这样，两圆半径、圆心距、公共弦长的一半就集中到了中，可以利用三角形有关知识加以解决。