8、(1) 连接O₂B　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 易证四边形ADO₂B 为矩形,在Rt⊿O₂DO₁ 　中,　　　

O₁D=2,O₁O₂=4,则　 ∠O₁O₂D=30⁰ ,O₂D=6　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(2)由(1)得AB= O₂D=6,∴点C的坐标为(0,3)　　　　 　　　　　　　　　

(3)由图知:O₁、O₂ 点的坐标为(-3,0)、(,0)　　　

设过点O₁、O₂ 、C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c　

则有:　　　　　　　　　　　　　

　　 解之得:a=　 b= 　　c=3

故抛物线的解析式为:y=x²+x+3　　　　　　　

(4) 存在，点C显然满足条件，又根据抛物线的对称性知,点C关于x=的对称点也满足条件，即P点的坐标为(0,3)、(,3)　　　　　　　　　　　

7、 (1) AC=15　　 BC=20　　

　(2)∵ S_△ABC=AC·BC=OC·AB，　 ∴ OC=12

∴ PO+PC=4+2k=12．　　 ∴ k=4

　　 　∴ 方程可化为x²-12x+32=O．解得x₁=4，x₂=8　

　 　　∵ PO<PC． ∴ PO=4．　　 ∴ P(O，-4)

(3)存在，直线PQ解析式为：y=-x-4或y=- x -4

6、(1) a=－1　 ，k=1

　 (2)在二次函数y=－x²+2x+3的图像上存在点P，

使得ΔPBC是以BC为一条直角边的直角三角形

①由 (1)可知，直线y=x+3与x轴的交点为E(－3，0)

OE=OC=3_∠CEO=450　，∠OBC=45⁰∠ECB=90⁰∠DCB=90⁰

ΔDCB是以BC为一条直角边的直角三角形，

且点D(1，4)在二次函数的图像上，则点D是所求的P点

方法一：设∠CBP=90⁰,点P在二次函数y=－x²+2x+3的图像上，

则ΔPBC是以BC为一条直角边的直角三角形，

∠CBO=45⁰　∠OBP=45⁰

设直线BP与y轴交于点F，则F(0,－3)直线BP的表达式为y=x－3

解方程组得或

由题意得，点P(－2,－5)为所求。

综合①②，得二次函数y－x²+2x+3的图像上存在点P(1,4)或

P(－2,－5),使得ΔPBC是以BC为一条直角边的直角三角

方法二：在y轴上取一点F(0，－3)，则OF=OC=3,由对称性可知，∠OBF=∠OBC=45⁰

∠CBF=90⁰

　设直线BF与二次函数y=－x²+2x+3的图像交于点P，由(1)知B(3，0)，

　　 直线BF的函数关系式为y=x－3(以下与方法一同)

5、⑴C(2a，0)，D(0，2a+8)

⑵方法一：由题意得：A(－4，0)，B(0，4)

－4＜a＜0，且a≠2，

①　 当2a+8＜4，即－4＜a＜－2时AC=－4－2a，BD=4－(2a+8)=－4－2a

∴AC=BD。当2a+8＞4，即－2＜a＜0时，同理可证：AC=BD

综上：AC=BD

方法二：①当点D在B、O之间时，连CD，∵∠COD＝90°

∴圆心M在CD上，过点D作DF∥AB，∵点M为CD中点，

∴MA为△CDF中位线，∴AC＝AF，

又DF∥AB，∴，而BO＝AO　　 ∴AF=BD　 ∴AC＝BD

②点D在点B上方时，同理可证：AC=BD，综上：AC=BD

⑶方法一

①A(－4,0)，B(0，4)，D(0，2a+8)，M(a，a+4)，△BDE、△ABO均为等腰直角三角形，

E的纵坐标为a+6，∴ME=(y_E－y_M)=[a+6-(a+4)]=2，AB=4∴AB=2ME

②　 AM=( y_M－y_A)＝(a+4)，BE=|y_E－y_B|=|a+2|，

∵AM=BE又－4＜a＜0，

且a≠2，1⁰　 当－4＜a＜－2时，(a+4)= －(a+2)　 ∴a=－3，M(－3，1)

2⁰　 当－2＜a＜0时，(a+4)= (a+2)

∴a不存在

4、解：(1)y_B=5=半径; 　x_Cy_C=,　 +y²_C=25, 得C (4,3) …2分和C(4,－3)　

(2)①过点P(4，3)、Q(3，5)的抛物线y=a₀x²+h₀

即为y=－x²+,得h₀＝.

过P₁(p+1，3)、Q₁(p，5)的抛物线y=a₁x²+h₁

即为y=,

h₁=.h₀-h₁＝－ ＝

＝，

(∵MQ＞M₁Q_1，其中MQ＝6，∴0≤p＝1／2M₁Q₁＜3，)可知0≤p＜3；

∴7p+3＞0，2p+1＞0，3-p＞0，因而得到h₀-h₁＞0，证得h₀＞h_1.

(或者说明2p+1＞0，在0≤p＜3时总是大于0，得到h₀-h₁＞0.

②显然抛物线y=ax²+bx+c的开口方向向下，a＜0.

当T运动到B点时，这时B、T、K三点重合即B为抛物线的顶点，∴y_K≥5；

将过点T、B、C三点的抛物线y=ax²+bx+c沿x轴平移，使其对称轴为y轴，这时y_K不变.

则由上述①的结论，当T在FB上运动时，过F(－3，5)、B(3，5)、C(4，3)三点的抛物线的顶点为最高点，

∴y_K≤， ∴　 5≤y_K≤

3、

2. (1)A(1，2)E(0，)

(2)y=(3)(，)，2+2，

1、(1)由旋转的性质可知：OC＝OA＝2，OD＝OB＝4

∴C、D两点的坐标分别为C(－2，0)、D(0，4)

(2)所求抛物线的解析式为。

(3)答：△PMB是钝角三角形。

如图，PH是抛物线的对称轴，

求得M、P两点的坐标分别为M(2，1)，P(1，).

∴点M在PH右侧，

又∵∠PHB＝90°　　　　　 ∴∠1＞90°

∵∠PMB＞∠1　 ∴△PMB是钝角三角形。

9、(2005年重庆)(10分)已知四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过P作MN∥AD，EF∥CD，分别交AB、CD、AD、BC于点M、N、E、F，设＝PM·PE，＝PN·PF，解答下列问题：

(1)当四边形ABCD是矩形时，见图1，请判断与的大小关系，并说明理由；

(2)当四边形ABCD是平行四边形，且∠A为锐角时，见图2，(1)中的结论是否成立？并说明理由；

(3)在(2)的条件下，设，是否存在这样的实数，使得？若存在，请求出满足条件的所有的值；若不存在，请说明理由.

能力训练答案：

8、(2005年恩施)年如图,在平面直角坐标系中,半径分别为3和的⊙O₁和⊙O₂外切于原点O,在x轴上方的两圆的外公切线AB与⊙O₁和⊙O₂分别切于点A、B,直线AB交y轴于点C.O₂D⊥O₁A于点D.

(1)求∠O₁O₂D的度数;

(2)求点C的坐标;

(3)求经过O₁、C、O₂三点的抛物线的解析式;

(4)在抛物线上是否存在点P,使⊿PO₁O₂为直角三角形.若存在,求出点P的坐标； 若不存在,请说明理由.