21．解：(I)，

则

因为函数h(x)存在单调递减区间，所以<0有解.

又因为x>0时，则ax²+2x－1>0有x>0的解.

①当a>0时，y=ax²+2x－1为开口向上的抛物线，ax²+2x－1>0总有x>0的解；

②当a<0时，y=ax²+2x－1为开口向下的抛物线，而ax²+2x－1>0总有x>0的解；

　 则△=4+4a>0,且方程ax²+2x－1=0至少有一正根.此时，－1<a<0.

　 综上所述，a的取值范围为(－1，0)∪(0，+∞).

　 (II)证法一　 设点P、Q的坐标分别是(x₁, y₁)，(x₂, y₂)，0<x₁<x₂.

　　　　 则点M、N的横坐标为

　　　　 C₁在点M处的切线斜率为

　　　　 C₂在点N处的切线斜率为

　　　　 假设C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行，则k₁=k₂.

　　　　 即，则

　　　　　　　　 =

　　　 所以　 设则①

　　　 令则

　　　 因为时，，所以在)上单调递增. 故

　　　 则. 这与①矛盾，假设不成立.

　　　 故C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行.

证法二：同证法一得

　　　 因为，所以

　　　 令，得　 ②

　　　 令

　　　 因为，所以时，

　　　 故在[1，+上单调递增.从而，即

　　　 于是在[1，+上单调递增.

　　　 故即这与②矛盾，假设不成立.

　　　 故C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线不平行.

20．解(I)从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax_n，被捕捞量为bx_n，死亡量为

　 (II)若每年年初鱼群总量保持不变，则x_n恒等于x₁， n∈N*，从而由(*)式得

　　　　 因为x₁>0，所以a>b.

　　　　 猜测：当且仅当a>b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.

　 (Ⅲ)若b的值使得x_n>0，n∈N*

　　　　 由x_n+1=x_n(3－b－x_n), n∈N*, 知

　　　　 0<x_n<3－b, n∈N*, 特别地，有0<x₁<3－b. 即0<b<3－x₁.

　　　　 而x₁∈(0, 2)，所以

　　　　 由此猜测b的最大允许值是1.

　　　　 下证 当x₁∈(0, 2) ，b=1时，都有x_n∈(0, 2), n∈N*

　　　　 ①当n=1时，结论显然成立.

②假设当n=k时结论成立，即x_k∈(0, 2),

则当n=k+1时，x_k+1=x_k(2－x_k­)>0.

又因为x_k+1=x_k(2－x_k)=－(x_k－1)²+1≤1<2,

所以x_k+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.

由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有x_n∈(0,2).

综上所述，为保证对任意x₁∈(0, 2), 都有x_n>0， n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1.

19．(Ⅰ)证法一：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是.

　　 所以点M的坐标是().　　 由

即

　　 证法二：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是设M的坐标是

所以　　　 因为点M在椭圆上，所以　

即

　 解得

　 (Ⅱ)解法一：因为PF₁⊥l，所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁为钝角，要使△PF₁F₂为等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|，即

　　 设点F₁到l的距离为d，由

　　 得　 所以

　　 即当△PF₁F_­2­­为等腰三角形.

解法二：因为PF₁⊥l，所以∠PF₁F₂=90°+∠BAF₁为钝角，要使△PF₁F₂为等腰三角形，必有|PF₁|=|F₁F₂|，

设点P的坐标是，

则

由|PF₁|=|F₁F₂|得

两边同时除以4a²，化简得　 从而

于是.　　 即当时，△PF₁F₂为等腰三角形.

18．解：(I)分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”

　　　 为事件A₁，A₂，A₃. 由已知A₁，A₂，A₃相互独立，P(A₁)=0.4，P(A₂)=0.5，

　　　 P(A₃)=0.6.

　　　 客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取

　　　 值为3，2，1，0，所以的可能取值为1，3.

　　　 P(=3)=P(A₁·A₂·A₃)+ P()

= P(A₁)P(A₂)P(A₃)+P()

=2×0.4×0.5×0.6=0.24，

1　　 3　 P 0.76 0.24

　　　 所以的分布列为

　　　 E=1×0.76+3×0.24=1.48.

(Ⅱ)解法一　 因为

所以函数上单调递增，

要使上单调递增，当且仅当

从而

解法二：的可能取值为1，3.

当=1时，函数上单调递增，

当=3时，函数上不单调递增.0

所以

17．解法一(I)证明 由题设知OA⊥OO₁，OB⊥OO₁.

　　　 所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，

　　　 即OA⊥OB. 故可以O为原点，OA、OB、OO₁

 所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

　　　 如图3，则相关各点的坐标是A(3，0，0)，

　　　 B(0，3，0)，C(0，1，)

　　　 从而

　　　 所以AC⊥BO₁.

(II)解：因为所以BO₁⊥OC，

由(I)AC⊥BO₁，所以BO₁⊥平面OAC，是平面OAC的一个法向量.

设是0平面O₁AC的一个法向量，

由　　 得.

设二面角O-AC-O₁的大小为，由、的方向可知，>，

　　　 所以cos，>=

　　　 即二面角O-AC-O₁的大小是

解法二(I)证明 由题设知OA⊥OO₁，OB⊥OO₁，

　 　 所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，

　　　 OC是AC在面OBCO₁内的射影.

　　　 因为　　 ，

　　　 所以∠OO₁B=60°，∠O₁OC=30°，从而OC⊥BO₁

　　　 由三垂线定理得AC⊥BO₁.

(II)解 由(I)AC⊥BO₁，OC⊥BO₁，知BO₁⊥平面AOC.

　　　 设OC∩O₁B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O₁F(如图4)，则EF是O₁F在平面AOC

　　　 内的射影，由三垂线定理得O₁F⊥AC.

　　　 所以∠O₁FE是二面角O-AC-O₁的平面角.

　　　 由题设知OA=3，OO₁=，O₁C=1，

　　　 所以，

　　　 从而，　　 又O₁E=OO₁·sin30°=，

　　　 所以　 即二面角O-AC-O₁的大小是

16．解法一　 由

　　　 得

　　　 所以

　　　 即

　　　 因为所以，从而

　　　 由知 从而.

　　　 由

　　　 即

　　　 由此得所以

解法二：由

　　　 由、，所以

　　　 即

　　　 由得

　　　 所以

　　　 即 　　　　　　 因为，所以

　　　 由从而，知B+2C=不合要求.

　　　 再由，得　 所以

15．[答案]：

[解析]：本题是一道很好的理性思维信息开放性定义型题，能很好地考查学生分析思维能力.

　　　　　　　　　　 由题意得：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 为一个半周期结合图象分析其面积为.

14．答案:-2

　 [解析]:由题意f(x)图象上点(4,0),关于(1,2)对称点(-2,4).则点(4,-2)在f^--1(x)上,

则f^--1(4)= -2.

13．答案：

[解析]：如图

则

所以.

12.答案:35　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　

[解析]:由题意得x²项的分数为: .