试卷类型：A
江门市2009年高考第二次模拟考试
数 学（文科）
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：⒈答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
⒉选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
⒊非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
⒋作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
⒌考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高．
球的表面积公式
，其中
是球的半径．
方差的公式
，其中是
样本平均数．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
⒈设集合
，集合
，则
A.
B.
C.
D.空集
⒉若复数
（
为虚数单位），则
的共轭复数
A.
B.
C.
D.
⒊已知命题
：
，
．则它的否定是
A.
：，
B.：
，
C.：，
D.：，
⒋已知函数
，
．则函数
是
A.单调递增的奇函数 B.单调递增的偶函数
C.单调递减的奇函数 D.单调递减的偶函数
⒌已知向量
，向量
与
的夹角为
，且
．则
A.
B.
C.
D.
⒍已知某几何体是一个圆柱和一个球的组合体，球的直径和
圆柱底面直径相等，它的正视图（或称主视图）如图1所示．
这个几何体的表面积是
A.
B.
C.
D.
⒎若曲线
：
(
是常数)经过原点
，则曲线在点的切线是
A.
B.
C.
D.
⒏随机调查某校50个学生在“六一”儿童节的午餐费，结果如下表：
餐费（元）
3
4
5
人数
10
20
20
这50个学生“六一”节午餐费的平均值和方差分别是
A.
，
B.，
C.
，
D.，
⒐在平面直角坐标系
中，已知点
、
，直线 
经过点
且与线段
相交．则直线 倾斜角
的取值范围是
A.
B. 
C.
D.
⒑若对
、
，都有
，则称区间
为函数的一个凸区间（如图2）．在下列函数中，
①
；②
；③
；④
以
为一个凸区间的函数有：
A. 
个 B. 
个
C.
个 D. 个
㈠必做题（11～13题）
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
⒒已知数列
，
，则
．
⒓双曲线的一个焦点是
，离心率
，则
双曲线的标准方程是 ．
⒔定义在实数集
上的函数，其对应关系
由程序框图（如图3）给出，则
，
的解析式是 ．
㈡选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
⒕（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，
曲线的参数方程为
（参数
）．则曲线的普通方程
是 ，曲线上的点到坐标原点距离的最小值是 ．
⒖（几何证明选讲选做题）如图4，
是圆的内接等边
三角形，
，与
的延长线相交于，与圆
相交于
．若圆的半径
，则
．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
⒗（本小题满分12分）在直角坐标系中，已知
，
，
．
⑴若
锐角，且
，求
；
⑵若
，求
．
⒘（本小题满分13分）如图5，已知正四棱柱
与它的侧视图（或称左视图），是
上一点，
．
⑴求证
；
⑵求三棱锥
的体积．
⒙（本小题满分13分）、
是常数，关于
的一元二次方程
有实数解记为事件
．
⑴若、分别表示投掷两枚均匀骰子出现的点数，求
；
⑵若
、
，
且
，求．
⒚（本小题满分14分）已知圆
：
，抛物线以圆心为焦点，以坐标原点为顶点．
⑴求抛物线的方程；
⑵设圆与抛物线在第一象限的交点为，过作抛物线的切线与
轴的交点为
，动点
到、两点距离之和等于
，求的轨迹方程．
⒛（本小题满分14分）已知函数
，
，是常数．
⑴若
，试证明
；
⑵若对
，
恒成立，求常数的取值范围．
21.（本小题满分14分）设数列
的前
（
）项和为
，
，
，当
时，
．
⑴求
；
⑵求数列
（）最小的项．
文科数学评分参考
二、填空题 11．
12．
13．
……2分；
14．
……3分； 15．
三、解答题
⒗⑴
……1分，
，
……3分
……5分，
……6分．
⑵
，
……7分
由，得
……8分
即
，
……9分
两边平方，得
……10分
即
，
……12分．
⒘⑴因为是正四棱柱，所以
……2分
，所以
……3分
因为，
，所以……5分
⑵连接
，因为，所以…6分，所以
…7分
所以
∽
……8分，所以
……9分，
……10分
因为是正四棱柱，所以
是三棱锥的高……11分，所以三棱锥的体积
……13分．
⒙⑴方程有实数解，
，即
……1分
依题意，、、、、
、，
、、、、、，所以，“投掷两枚均匀骰子出现的点数”共有
种结果……2分
当且仅当“且、、”，或“
且、”，或“
且”时，
不成立……5分，所以满足的结果有
种……6分，从而
……7分．
⑵在平面直角坐标系
中，直线
与围成一个正方形……8分
正方形边长即直线
与
之间的距离为
……9分
正方形的面积
……10分，圆
的面积为
……11分
圆在正方形内部……12分，所以
……13分．
⒚⑴圆的圆心
……1分，设抛物线：
……2分，
……3分，所以
，所求抛物线的方程为
或
……4分．
⑵由方程组
……5分，依题意解得
……6分，抛物线即函数的图象，当
时，切线的斜率
……8分，切线为
，即
……9分，时，
，所以
……10分．
的轨迹是焦点在轴的椭圆，设它的方程为
……12分，则
，
……13分，解得，
，的轨迹方程为
……14分．
⒛⑴
时
，因为，所以
……1分
所以
……2分，
……4分，所以……5分．
⑵，由即
得
……7分
设
，
……8分
，
，
在
单调递减……10分，
……12分，所以
，即的取值范围是
……14分．
21．⑴依题意，
时，
、
，两式相减得
……1分，
、
……2分
所以
……3分
时，
，
，解得
……4分
所以时，
……5分，而且
，
，
……6分，所以
……7分
⑵依题意，
，
时，
……8分，
作函数
，
……9分
……10分，解得
……11分
当
时，
；当
时，
……12分。所以，在取得最小值
……13分，因为
且
，所以，数列
（）最小的项是
……14分．