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从以下两个小题中选做一题(只能做其中一个,做两个按得分最低的记分).(甲)一水池有2个进水口,1个出水口,每口进出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示.(至少打开一个水口)
给出以下3个论断:①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水.则一定能确定正确的论断序号是________.
(乙)深圳市的一种特色水果上市时间仅能持续5个月,预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌,现有三种价格模拟函数.①f(x)p·qx;②f(x)=px2+qx+1;③f(x)=x(x-q)2+p
(以上三式中p,q均为常数,且q>1,x=0表示4月1日,x=1表示5月1日,依次类推).
(1)为准确研究其价格走势,应选________种价格模拟函数.
(2)若f(x)=4,f(2)=6,预测该果品在________月份内价格下跌.
已知函数
.(
)
(1)若
在区间
上单调递增,求实数
的取值范围;
(2)若在区间
上,函数
的图象恒在曲线
下方,求
的取值范围.
【解析】第一问中,首先利用
在区间
上单调递增,则
在区间
上恒成立,然后分离参数法得到
,进而得到范围;第二问中,在区间
上,函数
的图象恒在曲线
下方等价于
在区间
上恒成立.然后求解得到。
解:(1)
在区间
上单调递增,
则
在区间
上恒成立. …………3分
即
,而当
时,
,故
.
…………5分
所以
.
…………6分
(2)令
,定义域为
.
在区间
上,函数
的图象恒在曲线
下方等价于
在区间
上恒成立.
∵
…………9分
① 若
,令
,得极值点
,
,
当
,即
时,在(
,+∞)上有
,此时
在区间
上是增函数,并且在该区间上有
,不合题意;
当
,即
时,同理可知,
在区间
上递增,
有
,也不合题意;
…………11分
② 若
,则有
,此时在区间
上恒有
,从而
在区间
上是减函数;
要使
在此区间上恒成立,只须满足![]()
,
由此求得
的范围是
. …………13分
综合①②可知,当
时,函数
的图象恒在直线
下方.
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已知点
为圆
上的动点,且
不在
轴上,
轴,垂足为
,线段
中点
的轨迹为曲线
,过定点![]()
任作一条与
轴不垂直的直线
,它与曲线
交于
、
两点。
(I)求曲线
的方程;
(II)试证明:在
轴上存在定点
,使得
总能被
轴平分
【解析】第一问中设
为曲线
上的任意一点,则点
在圆
上,
∴
,曲线
的方程为![]()
第二问中,设点
的坐标为
,直线
的方程为
, ………………3分
代入曲线
的方程
,可得 ![]()
∵
,∴![]()
确定结论直线
与曲线
总有两个公共点.
然后设点
,
的坐标分别
,
,则
,
要使
被
轴平分,只要
得到。
(1)设
为曲线
上的任意一点,则点
在圆
上,
∴
,曲线
的方程为
. ………………2分
(2)设点
的坐标为
,直线
的方程为
, ………………3分
代入曲线
的方程
,可得
,……5分
∵
,∴
,
∴直线
与曲线
总有两个公共点.(也可根据点M在椭圆
的内部得到此结论)
………………6分
设点
,
的坐标分别
,
,则
,
要使
被
轴平分,只要
,
………………9分
即
,
, ………………10分
也就是
,
,
即
,即只要
………………12分
当
时,(*)对任意的s都成立,从而
总能被
轴平分.
所以在x轴上存在定点
,使得
总能被
轴平分
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