1、平面直角坐标系中，曲线方程与方程曲线的定义是什么？

2、平面直角坐标系中，求曲线方程的基本步骤是什么？

3、若点M的极坐标(ρ,θ)满足ρ=5，表示什么图形？ρ=-5是否在此曲线上？

4、在极坐标系下，如何定义曲线的方程和方程的曲线？

 1、定义：一般地，一条曲线C上任意一点都有一个点的极坐标适合方程f(ρ,θ)=0;反之，极坐标方程f(ρ,θ)=0的点都在曲线C上，这个方程称曲线C的极坐标方程，这条曲线C称极坐标方程f(ρ,θ)=0的曲线，记作：C：f(ρ,θ)=0

   思考：“点M满足C:f(ρ,θ)=0”是“点M(ρ,θ) 在曲线C上”的__________________条件。（充分又不必要）

   例1、判断正误

 (1)点P在曲线C上，则P的极坐标方程一定满足曲线C的方程

 (2)在ρ≥0情况下，极坐标方程tanθ=1与θ=表示同一条直线

(3)ρ=3与ρ=-3表示的是同一曲线

解答：××√

练习：ρθ-ρ-2θ+2=0(ρ≥0)表示的曲线是________________(以极点为圆心以2为半径的圆及过极点倾斜角是1弧度的射线)

去掉ρ≥0的条件呢？

  2、如何求曲线的极坐标方程

   与求直角坐标方程一样，关键词：建---设---限---代---化

 （1）建：建立适当的极坐标系，术语“以…为极点，以…为极轴，建立极坐标系”

 (2)设：设曲线上任意一点的坐标为M (ρ,θ)

 (3)限：列出点M满足的限制条件（等式或不等式）

 (4)代：将M点的极坐标代入(3)中关系式

 （5）化简(4)中的关系式

  例2、求过点A(3,0)且垂直于极轴的直线的极坐标方程（解答ρcosθ=0）

  练习1：求过点B(3,)且平行于极轴的直线的极坐标方程（解答ρsinθ=3)

  练习2：自极点O向直线l作垂线，垂足E的极坐标为E(p,α),(p>0)，求直线l的极坐标方程（ρcos(θ-α)=0）

  例3、求圆心在点A(3,0),且过极点的⊙A的极坐标方程  （解答：ρ=6cosθ）

  变形1：点A的坐标变为(-3,0)、（3，）时，⊙A的方程分别为______、_____（ρ=-6cosθ, ρ=6sinθ)

   变形2：若O、P、Q三点共线，点Q在例3中的圆上且时，点P的轨迹方程（ρ=cosθ)

[补充习题]

1、在极坐标系中，O为极点，Q(2,0),求线段OQ的垂直平分线方程

2、在极坐标系中，点P到极点O的距离与它到点Q(2,0)的距离比为，求点P的极坐标方程

[补充习题答案]

1、ρcosθ=0

2、ρ²+2ρcosθ-2=0

[情况反馈]

第二课时    极坐标方程与直角坐标方程的互化

[教学目标]

[教学难点、重点]互化中的等价变形

[教学过程]

一、复习引入：

  1、什么是极坐标方程？什么是直角坐标方程？它们之间有什么联系？（引入标题：极坐标与直角坐标方程的互化）

  2、点的极坐标与直角坐标如何互化？

  (1)前提条件：极点与原点重合，极轴与x轴一致

  (2)互化公式：x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ=,tanθ=

   例1、将直角坐标方程x²+y²-8y=0化成极坐标方程

   解：∵ρ²=x²+y²,y=ρsinθ  ∴ρ²-8ρsinθ=0  ∴ρ=0或ρ=8cosθ    ∵ρ=0表示极点，在ρ=8cosθ上   ∴极坐标方程为ρ=8cosθ

说明：将直角坐标方程化成极坐标方程要化简，能合并的合并

练习：将下列直角坐标方程化成极坐标方程

1、x+y-2=0     (ρcosθ+sinθ=2)

2、在直角坐标系内，写出圆心在点(-1,1)处，且通过原点的圆的直角坐标方程，并化成极坐标方程（(x+1)²+(y-1)²=2,ρ=2(sinθ-cosθ)）

例2、化极坐标方程ρ=6cos(θ-)为直角坐标方程

解：原方程可以化为ρ=6cosθcos+6sinθsin,两边同乘ρ，得ρ²=3ρcosθ+3ρsinθ,由x=ρcosθ,y=ρsinθ得直角坐标方程为x²+y²-3x-3y=0

这里两边同乘ρ，而ρ=0表示极点，在ρ=6cos(θ-)（ρ=6cos(θ-)=0有解），所以这个变形是同解变形，方程即为所求的方程。化极坐标方程为直角坐标方程一定要注意同解变形

练习：化下列极坐标方程为直角坐标方程

1、ρ=-cosθ     （(x+)²+y²=）

2、ρ²=tanθ      (x³+xy²-y=0)

3、ρ=   (x⁴-x²-y²=0)

例3、求圆ρ²-2ρ（cosθ+sinθ）-5=0的圆心的极坐标和半径

解：根据极直互化公式，有：x²+y²-2x-2y-5=0,(x-1)²+(y-)²=9,圆心的直角坐标为(1,),半径为3，∴圆心的极坐标为(2,),半径为3

[情况反馈]

第三课时：直线与圆的极坐标方程

[教学目标]

[教学难点、重点]极坐标方程旋转的变换形式

[教学过程]

复习求极坐标方程的一般方法步骤，提出问题：直线与圆的极坐标方程如何求？标题

二、新课内容

1、直线的极坐标方程

(1)直线l过点M(ρ₀,θ₀),且极轴到此直线的角为α，求直线l的极坐标方程

如图，在直线l上任意一点为P(ρ,θ),则在三角形POM中，有：，因∠OMP=π-α+θ₀,∠OPM=α-θ  ∴直线l的极坐标方程为ρsin(θ-α)=ρ₀sin(θ₀-α)

（2）思考问题：

①ρ₀=0时，方程是什么？画出图形   （θ=α(ρ∈R),如图）

②点M坐标为(a,0),α=时，方程是什么？画出图形（ρcosθ=a,如图）

③点M坐标为M(b, ),α=0时，方程是什么？画出图形   （ρsinθ=b,如图）

2、圆的极坐标方程

(1)若圆心为M(ρ₀，θ₀)，圆的半径为r，求圆的极坐标方程

   设圆上任意一点为P(ρ,θ),在三角形POM中，由余弦定理：PM²=OM²+OP²-2OM.OPcos∠POM

故方程为ρ²-2ρ₀ρcos(θ-θ₀)+ρ₀²-r²=0

(2)思考特殊位置的圆

①圆心在极点时：ρ=r

②圆心为(r,0)时：ρ=2rcosθ

③圆心为(r,)时：ρ=2rsinθ

3、例题

例1、在圆心的极坐标为A(4,0)，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹

解：设M(ρ,θ)是轨迹上任意一点，直线OM与圆交于另一点P(ρ₀,θ₀),则ρ₀=2ρ，θ₀=θ，P在圆上，故ρ₀=8cosθ₀,代入得到ρ=4cosθ表示以（2，0）为圆心以2为半径的圆

例2、(1)作出极坐标方程ρcos(θ+)=2和ρcos(θ+)=2的曲线，并将它们与ρ=cosθ=2的曲线进行比较

(2) 作出极坐标方程ρ=2cos(θ+)和ρ=2cos(θ+)的曲线，并将它们与ρ=2cosθ的曲线进行比较

(3)说明极坐标方程ρ=f(θ+α)与ρ=f(θ)表示的曲线之间的联系（教材P29---16）

解答：ρ=f(θ) ρ=f(θ+α)

练习：定点O到定直线l的距离为a(a>0)，当点A在直线l上移动时，O、A、B按逆时针方向组成一个正三角形

(1)建立适当的极坐标系，求点B的轨迹方程，并说明其轨迹

(2)将(1)中曲线上各点绕极点逆时针旋转，得到什么方程？

[答案：(1)定点O为极点与l 垂直的直线为极轴建立极坐标系，B方程ρcos(θ-)=a，表示过点A(a,)垂直于OA的直线;(2)ρsinθ=a]

[补充习题]

1、极坐标方程ρ²sinθ=ρ表示的曲线是_____________

2、在极坐标系中，曲线ρ=6cos(θ-)关于下列____________对称

①直线θ=；②直线θ=；③点(2,);④极点

3、⊙C₁:ρ=2cosθ和⊙C₂:ρ²-2ρsinθ+2=0的位置关系是___________

4、在极坐标系中，已知圆C的圆心C(3,),半径r=3

(1)求圆C的极坐标方程   (2)若点Q在圆C上运动，点P在OQ的延长线上，且OQ:QP=3:2, 求动点P的轨迹方程

[补充习题解答]

1、极点及过(1,)且平行于极轴的直线

2、①③

3、外切

4、(1)ρ=6cos(θ-)    (2) ρ=10cos(θ-)

[情况反馈]

                    第四课时      圆锥曲线的极坐标方程

[教学目标]

[教学难点、重点]方程的应用

[教学过程]

1、求一个曲线的方程的步骤是什么？（建――设――限――代――化）

2、如何建立极坐标系比较方便？（以焦点为极点，以焦点所在的直线为极轴，建立极坐标系）

3、画出草图，写出满足的条件，进而求曲线方程

设点P(ρ,θ)是其上任意一点，焦准距为p,条件：=e           

 =e,   ρ=

 注意：它是以焦点为极点建立的极坐标系

4、对于椭圆和双曲线，都有两个焦点，到底是左焦点为极点还是右焦点为极点？

(1)椭圆：由于ρ(0)=,ρ(π)=,ρ(0)>ρ(π)结合图形，是以左焦点建立的极坐标系

(2)双曲线：ρ(0)=<0,ρ(π)=>0说明是以右焦点建立的极坐标系，而且ρ>0条件下（点(ρρ(0))不再含有，仅仅表示双曲线的右支，ρ∈R情况下才表示整个双曲线

例1、以椭圆的左焦点为极点，x轴的正向为极轴的正方向建立极坐标系，写出此椭圆的极坐标方程

解：e==,p=,ρ==

思考：为什么不能用x=ρcosθ,y=ρsinθ的式子直接代入求方程？（极点不是原点）

练习：一卫星运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点（距离地面的最近距离）为m,近地点为n，地球的半径为R，建立适当的极坐标系，写出卫星的极坐标方程

（以地球的中心为极点，焦点所在的直线为极轴建立极坐标系，这样a+c=m+R,a-c=n+R,a=+R,c=,b=,e=,p=,方程ρ=）

   例2、求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分线段长的倒数和为常数，并求此常数

   证明：设抛物线的极坐标方程为：ρ=，设过焦点的弦为PQ,倾斜角为θ，则

FP=ρ(0)=, FQ=ρ(π)= ,=

   变形1：在上面例题中，线段PQ的长度为多少？（）

   变形2：如果过焦点再作一条与PQ垂直的直线AB，A、B、P、Q四点围成的四边形面积S的最小值是多少？（8p²）

   变形2：对于椭圆,过左焦点F的弦AB，问AB=?,还是否是常数，若是，常数是多少？（8ep²,是常数，常数为）

五、作业：教材P29----6,7,10,13

[补充习题]

1、极坐标方程ρ²cos2θ=1表示的曲线形状是______________

2、曲线ρ=的焦准距为_____________，长轴长为___________,准线方程为___________

3、过抛物线y²=4x的焦点F的弦AB=16，则直线AB的倾斜角为__________

4、(1)写出椭圆的极坐标方程;(2)过左焦点F₁的弦为AB，右焦点为F₂，求三角形F₂AB的面积的最大值

[补充习题答案]

1、双曲线；

2、4，，ρcosθ=-4及ρθ=20/3；

3、

4、(1)ρ=      (2)ab