2009年福建省普通高中毕业班质量检查
理科数学
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题，本试卷共5页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签）笔或碳素笔书写，字体工整、笔记清楚。
4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：
样本数据
，…，
的标准差
锥体体积公式
其中
为样本平均数
其中
为底面面积，
为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
其中为底面面积，为高
其中
为球的半径
第I卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知
，
为虚数单位，若
，则
的值等于
A．-6 B．
2．设向量
且
，则锐角
为
A．
B．
C．
D．
3．
是
相交”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．函数
的图象大致为
5．设
为不重合的平面
为不重合的直线，则下列命题正确的是
A．若
B．若
C．若
D．若
6．关于函数
图象的对称性，下列说法正确的是
A．关于直线
对称
B．关于直线
对称
C．关于点
对称
D．关于点
对称
7．右图是计算函数
的值的程度框图，
在①、②、③处应分别填入的是
A．
B．
C．
D．
8．已知直线
与直线
互相垂直，则
的最小值为
A．5
B．
9．已知函数
满足
，且当
时，
则
的大小关系是
A．
B．
C．
D．
10．
的展开式中，
的系数可以表示从个不同物体中选出
个方法总数，下列各式的展开式中
的系数恰能表示从重量分别为1，2，3，…，
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡相应位置。
11．为了测算如图阴影部分的面积，作一个边为6的正方形将
其包含在内，并向正方形内随即投掷800个点，已知恰有
200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积
是____________。
12．已知
满足约束条件
则
的最大值是__________。
13．如图，直线
与曲线
所围图形的面积是____________。
14．在锐角
中，角
的对边分别为
，
且
则
____________。
15．已知椭圆
的中心在原点、焦点在轴上，抛物线
的顶点在原点、焦点在轴上。小明从曲线
上各取若干个点（每条曲线上至少取两个点），并记录其坐标（
由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆上，也不在抛物线上，小明的记录如下：
-2
0
2
3
2
0
据此，可推断椭圆的方程为_________。
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分13分）
在等比数列
中，
（1）求数列的通项公式；
（2）令
，求数列
的前项和
。
17．（本小题满分13分）
甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随即抽取8次，记录如下：
甲 82 81 79 78 95 88 93 84
乙 92 95 80 75 83 80 90 85
（I）用茎叶图表示这两组数据；
（Ⅱ）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由；
（Ⅲ）若将频率视为概率，对甲同学在今后的3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为
，求的分布列及数学期望
。
18．（本小题满分13分）
四棱锥
的底面与四个侧面的形状和大小如图所示。
（I）写出四棱锥中四对线面垂直关系（不要求证明）；
（Ⅱ）在四棱锥中，若E为
的中点，求证：
平面
；
（Ⅲ）在四棱锥中，设面
与面所成的角为
，求
的值
19．（本小题满分13分）
已知椭圆
的离心率
，长轴的左右端点分别为
。
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线
与椭圆交于
，
两
点，直线
与
交于点
，试问：当
变化时，点是否恒在一条定直线上？
若是，请写出这条直线方程，并证明你的结
论；若不是，请说明理由。
20．（本小题满分14分）
已知函数
（I）求函数的极值；
（Ⅱ）对于曲线上的不同两点
，如果存在曲线上的点
，且
，使得曲线在点处的切线
，则称
为弦
的伴随切线，特别地，当
时，又称为的
伴随切线。
（i）求证：曲线
的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的；
（ii）是否存在曲线，使得曲线的任意一条弦均有
伴随切线？若存在，给出一条这样的曲线，并证明你的结论；若不存在，说明理由。
21．本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分如果多
做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号
涂黑。并将所选题号填入括号中。
（1）（本小题满分7分）选修4-2；矩阵与变换
已知
矩阵
对应的线性变换把点
变成点
，求矩阵
的特征值以及属于没个特征值的一个特征向量。
（2）（本小题满分7分）选修4-4，坐标系与参数方程
已知直线经过点
，且倾斜角为，圆的参数方程为
（
是参数），直线与圆交于
两点，求两点间的距离。
（3）（本小题满分7分）选修4-5；不等式选将
解不等式
2009年福建省普通高中毕业班质量检查
理科数学试题参考解答及评分标准
说明：
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，共50分
1．C 2．B 3．A 4．C 5．D 6．D 7．B 8．C 9．B 10．A
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，共20分。
11．9 12．5 13．
14．
15．
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．本小题主要考查等比数列、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，满分13分。
解：（I）设等比数列的公比为
依题意，得
解得
数列的通项公式 
（Ⅱ）由（I）得
17．本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用数学知识分析解决实际问题的能力，满分13分
解：（I）作出茎叶图如下：
（Ⅱ）派甲参赛比较合适，理由如下：
，
，
，
甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适。
注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分，如
派乙参赛比较合适，理由如下：
从统计的角度看，甲获得85以上（含85分）的概率
，
乙获得85分以上（含85分）的概率
，派乙参赛比较合适。
（Ⅲ）记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，
则
随机变量的可能取值为0，1，2，3，且服从
，
所以变量的分布列为
0
1
2
3
（或
）
18．本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，满分13分。
解法一：
（I）如图，在四棱锥中，
平面
，
平面，
平面，
平面
注：多写的按前四对给分，每正确一对，给一分
平面
也符合要求
（Ⅱ）依题意
两两垂直，分别以直线
，
，
为
轴，建立空间直角坐标系，如图
则
，
的中点，点
的坐标为（0，0，1），
。
设
是平面的法向量
由
，即
取，得
为平面的一个法向量
，
，
平面，又
平面，
平面
（Ⅲ）由（Ⅱ），平面的一个法向量为
=（1，1，2）
又
平面，平面的一个法向量为
解法二：
（I）同解法一。
（Ⅱ）取
的中点
，连接
，
分别是
的中点，
，
在直角梯形中，
且
且
四边形
是平行四边形，
又
平面，平面，
平面
（Ⅲ）依题意
两两垂直，分别以直线为轴，建立空间直角坐标系，如图
则
设是平面的法向量。
由 即
取，得=（1，1，2）为平面的一个法向量
又平面，平面的一个法向量为
解法三：
（I）同解法一
（Ⅱ）取的中点
，连接
，
分别是
的中点，
又
平面，
平面
在直角梯形中，且
，
四边形
是平行四边形，
又
平面，
平面
平面
平面
又
平面
平面
（Ⅲ）同解法二
19．本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形
结合思想和化归思想等，满分13分。
解法一：
（I）设椭圆的方程为
椭圆的方程是
（Ⅱ）取
，得
直线的方程是
，直线的方程是
交点为
若
，由对称性可知交点为
若点在同一条直线上，则直线只能为
以下证明对于任意的，直线与的交点均在直线上
事实上，由
得
即
记
则
设与交于点
由
，得
设与交于点
由
，得
即
与
重合
这说明，当变化时，点恒在定直线上
解法二：
（I）同解法一
（Ⅱ）取，得
直线的方程是，直线的方程是，
交点为
取
，得
直线的方程是
，直线的方程是
，交点为
若交点在同一条直线上，则直线只能为
以下证明对于任意的，直线与的交点均在直线上，
事实上，有
得
，即
记
则
的方程是
，的方程是
消去，得
以下用分析法证明
时，①式恒成立。
要证明①式恒成立，只需证明
，
即证
，即证
，②式成立。
这说明，当变化时，点恒在定直线上。
解法三：
（I）同解法一。
（Ⅱ）由
得，即
记则
的方程是
的方程是
由
得
即
这说明，当变化时，点恒在定直线上
20．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形
结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分14分
解法一：
（I）
当
时，
，函数在
内是增函数，
函数没有极值
当
时，令
得
当变化时，
与变化情况如下表：
+
0
-
单调递增
极大值
单调递减
当时，取得极大值
综上，当时，没有极值；
当时，的极大值为
，没有极小值
（Ⅱ）（i）设
是曲线上的任意两点，要证明有伴随切线，只需证明存在点
使得
，且点不在上。
即证存在
，使得
即
成立，且点不在上
以下证明方程
在
内有解。
记
则
令
在
内是减函数，
取
则
，即
同理可证
函数
在（
）内有零点
即方程在内有解
又对于函数
取
，则
，
可知
即点不在上。
又
是增函数，
的零点是唯一的，
即方程在内有唯一解
综上，曲线上的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的
（ii）取曲线
，则曲线
的任意一条弦均有
伴随切线。
证明如下：
设
是曲线上任意两点
，
则
即曲线
的任意一条弦均有伴随切线
注：只要考生给出一条满足条件的曲线，并给出正确证明，均给满分，若只给
曲线，没有给出正确的证明，不给分。
解法二：
（I）同解法一。
（Ⅱ）（i）设是曲线上的任意两点，要证明 有伴随切线，只需证明存在点
，，使得
且点不在上
即证存在，使得
即
成立，且点不在上
以下证明方程
在内有解
设
则
记
在
内是增函数，
同理
方程在内有解
又对于函数
可知
即点不在上。
又
在内是增函数。
方程在内有唯一解
综上，曲线上的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的
（ii）同解法一。
21．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
本小题主要考查矩阵与变换、矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力，满分7分
解：由
，得
矩阵的特征多项式为
令
，得矩阵的特征值
对于特征值
，解相应的线性方程组
得一个非零解
因此，
=
是矩阵的属于特征值
的一个特征向量
注：写出的特征向量只要满足
，
即可
（2）（本小题满分7分）选修4-4；坐标系与参数方程
本小题主要考查圆的参数方程、直线于圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力满分7分
解法一：
将圆的参数方程化为普通方程，得
直线的方程为
即
圆心到直线的距离
所以
解法二：
直线的参数方程为
即
（
为参数）
将圆的参数方程化为普通方程，得
将直线的参数方程代入圆的普通方程得
，即
两点间的距离为
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，满分7分
解：当
时，原不等式可化为
，解得
或
当
时，原不等式可化为
，解得
或
当
时，原不等式可化为
，解得
综上所述，原不等式的解集为