6．如图所示，某农场在M处有一堆肥料沿道路MA或MB送到大田ABCD中去，已知|MA|=6，|MB|=8，|BC|=3，，能否在大田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿MA送肥料较近，而另一侧沿MB送肥料较近？若能，请建立适当的直角坐标系，求出这条界线的方程.

　[能力提升]

5．设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.求双曲线C的离心率e的取值范围。

例6．(2006年北京宣武区)神舟6号飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个救援中心(记为A，B，C)，B在A的正东方向，相距6km，C在B的北偏东30°，相距4km，P为航天员着陆点，某一时刻A接到P的求救信号，由于B、C两地比A距P远，因此4s后，B、C两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s。

　　　 (I)求A、C两个救援中心的距离；

　　　 (II)求在A处发现P的方向角；

　　　 (III)若信号从P点的正上方Q点处发出，则A、B收到信号的时间差变大还是变小，说明理由。

［剖析］对于(1)以借助于两点间的距离公式得到；(2)抓住这一条件可知P在BC线段的垂直平分线上且，由双曲线的定义，可得P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，从而求出其对应的方程；(3)是一个比较大小的问题，一般的处理思路是作差法比较.

［解］解：(I)以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则

　　　 则

　　　 即A、C两个救援中心的距离为

(II)，所以P在BC线段的垂直平分线上

　　　 又，所以P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，且　　

∴双曲线方程为

　　　 BC的垂直平分线的方程为　 联立两方程解得：

　　　 　　　 ∴∠PAB＝120°

　　　 所以P点在A点的北偏西30°处.

(III)如图，设

　　　 又∵，

　　　 即A、B收到信号的时间差变小，且两救援中心收到信号的时间少于4秒。

［警示］面对实际问题，首先要构建数学模型，将实际问题转化为数学问题。本题抓住“A听到该巨响的时间比其它两测试点晚4s”想到差为定值，结合双曲线的定义，将实际问题转化为双曲线问题，进一步产生双曲线方程，从而顺利完成求解.从本题可以看出：抓住问题的本质促使转化是非常重要的一环.

［变式训练］

4．已知双曲线－=1的离心率，左、右焦点分别为F₁、F₂，左准线为l，能否在双曲线的左支上找一点P，使得|PF₁|是P到l的距离d与|PF₂|的等比中项?

例5．双曲线的焦距为2c，直线过点(a，0)和(0，b)，且点(1，0)到直线的距离与点(－1，0)到直线的距离之和求双曲线的离心率e的取值范围.

［剖析］本题是求双曲线的离心率取值范围问题，根据题设中的独立条件建立关于的等式或不等式，再利用与进行求解。

［解］直线的方程为，即　

由点到直线的距离公式，且，得到点(1，0)到直线的距离，

同理得到点(－1，0)到直线的距离

由　 即　 　

于是得　

解不等式，得　 　

由于所以的取值范围是

［警示］求方程的离心率的最值(或范围)问题，往往需要借僵双曲线的定义、图象、范围和性质，正(余)弦函数的有界性等，结合的关系，构造出一个关于离心率的不等式，从而达到求解的目的。

［变式训练］

3.已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆相交于点，若此圆过点P的切线与双曲线的渐近线平行，求此双曲线的方程。

例4．已知直线与双曲线相交于A、B两点，那么是否存在实数使得两点关于直线对称？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。

［剖析］这是一类非常典型的题目上，“已知曲线：上是否存在相异的两点，使关于定直线对称”这类问题的基本解决思路是：若存在是曲线上相异两点，它们关于对称.设的中点为，则，即，　①，又　②，由①②可解得，根据坐标的范围，不难得出答案。

［解］设，若存在这样的，使两点关于直线对称，则，且的中点满足.由，两式相减得：

，，，即，又，即，，从而，这显然是不可能的，故不存在这样的直线。

［警示］对于类似的探索性题目，我们一般假设符合题设条件的直线存在，从这个假设出发，如果能够推导出的值，则说明这样的直线是存在的；如果推导不出的值，或者说推导出矛盾的结果，这就说明满足条件的值不存在。

［变式训练］

2.(2007年上海浦东)已知曲线.

(1)画出曲线的图像，

(2)若直线与曲线有两个公共点，求的取值范围；

(3)若，为曲线上的点，求的最小值.

例3．已知双曲线C的中心在原点，焦点在轴上，点与其渐近线的距离为，过点P作斜率为的直线交双曲线于两点，交轴于M，且是与的等比中项.

(1)求双曲线的渐近线方程；

(2)求双曲线的方程.

［剖析］(1)由点与其渐近线的距离为，借助于点到直线的距离公式可求得其渐近线方程；(2)由渐近线方程，可设双曲线方程，再借助于题条件，不难得到双曲线方程。

［解］(1)设双曲线的一条渐近线方程为，由点到直线的距离公式得，即双曲线的渐近线方程为；

(2)设双曲线方程为，，

则直线的方程为.由得，

当即时，有

由可得，从而或.

故所求的双曲线方程为或.

［警示］渐近线是双曲线特有的，如果说双曲线的方程为，则其渐近线方程可记为.同时，以为渐近线的双曲线，其方程可设为；若已知双曲线的渐近线方程是以ax±by=0的形式给出的，则可设双曲线方程为a²x²－b²y²=(≠0).

［变式训练］

1. 根据下列条件，求双曲线方程：

(1)与双曲线－=1有共同的渐近线，且过点(－3，2)；

(2)与双曲线－=1有公共焦点，且过点(3，2).

例2．设点P到点M(－1，0)、N(1，0)距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围.

［剖析］由|PM|－|PN|=2m，得||PM|－|PN||=2|m|.知点P的轨迹是双曲线，由点P到x轴、y轴距离之比为2，知点P的轨迹是直线，由交轨法求得点P的坐标，进而可求得m的取值　　 范围.

［解］设点P的坐标为(x，y)，依题意得=2，即y=±2x(x≠0)　　 　 ①

因此，点P(x，y)、M(－1，0)、N(1，0)三点不共线，得||PM|－|PN||<|MN|=2.

∵||PM|－|PN||=2|m|>0，∴0<|m|<1.因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上.故设－=1.　 　　　　　　　 　 ②

将①代入②，并解得x²=，

∵1－m²>0，∴1－5m²>0.解得0<|m|<，

即m的取值范围为(－，0)∪(0，).

［警示］求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e及准线)之间的关系，并注意方程思想的应用.

［变式训练］

6．给出问题：F₁、F₂是双曲线－=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F₁的距离等于9，求点P到焦点F₂的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF₁|－|PF₂||=8，即|9－|PF₂||=8，得|PF₂|=1或17.

该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在题中的横线上.______________________________________________________.

[典例精析]

例1．设双曲线与椭圆有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程。

［剖析］由于椭圆的焦点坐标为，且双曲线与椭圆具有相同的焦点，知双曲线的焦点也为，从而知所设双曲线的形式应为，围绕定义产生的问题，要注意的三个量之间的关系。本题抓住“交点”在双曲线上，必须满足定义，从而应用定义求出双曲线方程中的基本量。

［解］解法一：由椭圆，得其焦点为或，双曲线的焦点在轴上，设所求的双曲线方程为(). 由已知得双曲线两焦点分别为，且与椭圆相交其中一个交点的纵坐标为4，设交点坐标为，从而得，解得，

则

解得，由于，得，因此方程即为所求.

解法二：由题意设双曲线方程为，将A()代入求得，故所求双曲线方程为.

［警示］利用定义法来求解双曲线的标准方程时，一定要抓住题设所给出的独立条件建立之间的等量关系，再利用运用方程的思想来求解，从而得到的值。但需注意首先应判断焦点的位置，以便于采用哪种形式的方程。

［变式训练］：

5．已知圆C过双曲线－=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________.

4．(2006年陕西卷)已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为 (　　　 )

(A)　　(B)　　(C)　　(D)2

3．过点(2，－2)且与双曲线－y²=1有公共渐近线的双曲线方程是(　　 )

(A)－=1　　 　(B)－=1　 (C)－=1　 (D)－=1