2．(2006年山东卷)在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 (　)

(A)　　　　　 (B)　 　　　　　(C)　 　　　　　　　　(D)

1．有以下两个命题：

(1)动点到两定点的距离之和且为常数)；

(2)点的轨迹是椭圆.

则命题(1)是命题(2)的(　　 )

(A)必要不充分条件　 (B)充分不必要条件　 (C)充分且必要条件　 (D)既不充分也不必要条件

6. 设F₁、F₂为椭圆＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点．已知P、F₁、F₂是一个直角三角形的三个顶点，且|PF₁|＞|PF₂|，求的值．

[能力提升]

5．设的轨迹是曲线，满足：点到的距离与它到直线的距离之比是常数，又点在曲线上，点在曲线的内部.

(1)求曲线的轨迹方程；

(2) 的最小值，并求此时点的坐标.

例6．设点是椭圆上一点，是椭圆的两个焦点，且，求椭圆的离心率的取值范围。

［剖析］由题设条件不难看出是一直角三角形的三个顶点，且由，可想到利用勾股定理来加以解决。

［解］由椭圆的定义得　　　　　　 ①

在中，，由勾股定理，得　 ②

将①②化简得： 　　　③

由①③，根据韦达定理，可知是方程的两个根。

则有，所以，即，又，从而.

［警示］ <<考试大纲>>要求掌握椭圆的简单几何性质，这就要求我们不仅准确把握和牢固地记忆这些几何性质，还要灵活地运用这些性质解决问题，更要注意教材中利用椭圆的标准方程推导这些几何性质的思想方法。在椭圆的几何性质中，离心率问题一直是高考的热点题型，需要重点把握。

［变式训练］

4．在中，，曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且保持的值不变，求曲线E的方程。

例5．设的轨迹是曲线，满足：点到的距离与它到直线的距离之比是常数，又点在曲线上，点在曲线的内部.

(1)求曲线的方程；

(2)的最小值，并求此时点的坐标.

［剖析］：由已知条件通过列方程，不难得出曲线的方程，但要注意计算准确。

［解］(1)设是曲线上任一点，则为常数)，

即，又点在曲线上，所以，所以，所以曲线的方程是，即.

(2)是椭圆的左焦点，实际上是点到左准线的距离.所以当与左准线垂直时，的值最小，此时点的坐标为.

［警示］由本例可知，点到的距离与它到直线的距离之比，是一个在(0,1)的常数，事实上，平面内到一定点的距离和一条直线(不在直线上)的距离之比是常数的动点的轨迹就是椭圆，其中定点是椭圆的一个焦点，定直线是椭圆的这个焦点所对应的准线，这就是椭圆的第二定义。

［变式训练］

3. 求满足下列各条件的椭圆的标准方程.

(1)焦点在坐标轴上，且经过两点、；

(2)经过点，且与椭圆具有共同的焦点.

例4．在中，BC=24，AC、AB边上的中线长之和等于39，求的重心的轨迹方程。

［剖析］：有一定长线段BC，两边上的中线长也均与定点B、C和的重心有关，因此需考虑以BC的中点为坐标原点建立直角坐标系。但需注意点A不能在BC的所在的直线上。

［解］如图所示，以线段BC所在直线为x轴、线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系。

设M为的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，由重心的性质知，，于是==.根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B、C为焦点的椭圆.

26，，又，，，故所求的椭圆方程为.

［警示］ 在求点的轨迹时，要特点注意所求点轨迹的几何意义，在本题中，所求的椭圆方程为，应考虑若时，A、B、C三点在同一条直线上，不可能构成三角形，所以应将去掉。另外，平面内一动点与两定点F₁，F₂的距离之和为常数2a，当2a＞| F₁F₂|时，动点的轨迹是椭圆；当2a=| F₁F₂|时动点的轨迹是线段F₁F₂；当2a<| F₁F₂|时，动点的轨迹不存在。

［变式训练］

2．(2006年江苏卷)已知三点P(5，2)、(－6，0)、(6，0)。求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程。

例3．求满足下列各条件的椭圆的标准方程.

(1)焦点在坐标轴上，且经过两点、；

(2)经过点(2，－3)且与椭圆具有共同的焦点.

［剖析］对于(1)，由题设条件不能确定椭圆的焦点在哪一坐标轴上，因此应分别设出焦点在x轴、y轴上的标准方程，进行讨论求解；或采用椭圆方程mx²+ny²=1(m>0,n>0,且)直接求解，避免讨论；对于(2)由于椭圆的焦点坐标为，因而可设所求的椭圆方程为，只要由题设条件确定的值即可.

［解］(1)［解法一］①当所求椭圆的焦点在轴上时，设它的标准方程为，依题意应有，解得，因为从而方程组无解；

　　　②当所求椭圆的焦点在轴上时，设它的标准方程为，

依题意应有，解得，所以所求椭圆的标准方程为.

故所求的椭圆的标准方程为

　［解法二］设所求椭圆的方程为mx²+ny²=1(m>0,n>0,且)，

依题意得，解得，从而所求椭圆的标准方程为.

　(2)［解］因为椭圆的焦点坐标为，，从而可设所求的椭圆的方程为，将又因为经过点(2，－3)，从而得，解得或(舍去)，故所求椭圆的标准方程为：.

［警示］由于题(1)中的椭圆是唯一存在的，为了运算方便，可设其方程为mx²+ny²=1(m>0,n>0,且)，而不必考虑焦点的位置，求接求得椭圆的方程；题(2)中椭圆变形为，其焦点坐标为，，所设的方程是具有共同焦点的，的椭圆系方程。遇到与本题类似的问题，我们可以采用类似的方法来求解椭圆的方程。另外本题还可以设方程，等解决。一般说来，与椭圆具有相同焦点的椭圆方程可设为，其中。本题实质上运用的也是待定系数法。

［变式训练］

1．　　 已知点A(3,0)，B(－2,1)是椭圆 内的点，M是椭圆上的一动点，试求|MA|+|MB|的最大值与最小值。

例2．已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过点P作长轴的垂线，恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程。

［剖析］由题设条件设出椭圆的标准方程，求出焦距与长轴长是求解本题的关键。因椭圆的焦点位置未明确在哪个坐标轴上，故应有两种情况。

［解］设椭圆的两个焦点分别为F₁，F₂，|P F₁|=，|P F₂|=

由椭圆的定义知2a=|P F₁|+|P F₂|=,即，由|P F₁|＞|P F₂|知P F₂垂直于长轴。所以在中，4c²=|P F₁|² －|P F₂|²=,所以c²=，于是b²=a²－c²=

又由于所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为或.

［警示］求椭圆的标准方程，需要一个定位条件和两个定形条件，通常采用待定系数法解决。椭圆中有“六点”(即两个交点与四个顶点)“四线”(即两条对称轴与两条准线)，因此在解题时要注意它们对椭圆方程的影响，如在求椭圆的标准方程时，当遇到焦点位置不确定时，应注意有两种结果。

［变式训练］

6．短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为F₁，F₂，过点F₁作直线交椭圆于A、B两点，则AB F₂的周长是　　　　 .

[典例精析]

例1．设F₁，F₂是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|P F₁|：|P F₂|＝4：3，求P F₁F₂的面积。

［剖析］由椭圆方程可求出2a与2c，且由|P F₁|：|P F₂|＝4：3知可求出|P F₁|，|P F₂|的长度，从而可求三角形的面积。

［解］由于|P F₁|+|P F₂|＝7，且|P F₁|：|P F₂|＝4：3，得|P F₁|＝4，|P F₂|＝3，又| F₁F₂|＝2c＝，显然|P F₁|² +|P F₂|²＝| F₁F₂|²，所以P F₁F₂是以P F₁，P F₂为直角边的直角三角形，从而所求P F₁F₂的面积为S＝|P F₁||P F₂|＝43＝6.

［警示］本题运用了椭圆的定义来解题。椭圆定义是用椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和来描述的，定义中|P F₁|+|P F₂|＝2a＞| F₁F₂|.定义能够对一些距离进行相关的转化，简化解题过程。因此在解题过程中，遇到涉及椭圆上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够使椭圆的定义来解决。

［变式训练］：

5．(2006年上海卷)已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(－2，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 　　　　　　　　 　．