5．(2006年山东维坊高三统一考试)如图，南北方向的公路，地在公路的正东方处，地在地东偏北方向处，河流沿河岸(曲线)上任一点到公路和到地距离相等。现要在曲线上选一处建一座码头，向两地转运货物，经测算从到，到修建公路的费用均为万元，那么修建过两条公路的总费用最低是(　　 )

(A)万元　　 (B)万元　　 　(C)万元　　 (D)万元

4．已知为抛物线上任一动点，记点到轴的距离为，对于给定点，则的最小值为(　　 )

(A)　　 (B)　　 (C)　　 (D)

3．抛物线上有一点，它的横坐标是3，它到焦点的距离为5，则抛物线的方程为(　　 )

(A)　　 (B) 　　　(C) 　　　(D)

2．(2006年东北三校)已知点是抛物线上距点最近的点，则(　　 )

(A)1　　　　 (B)3　　　　 (C)5　　　 (D)7

1．(2006年山东泰安模拟试题)焦点坐标为的抛物线的标准方程为(　　 )

(A)　 (B) 　　　(C) 　　　(D)

6．(2006年合肥模拟)如图，已知抛物线的方程为为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于点，且，求点的轨迹方程。

[能力提升]

5．(2005年北京春季)如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a>0，b≠0)，且交抛物线y²=2px(p>0)于M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)两点.

(1)写出直线l的截距式方程； (2)证明：+=； (3)当a=2p时，求∠MON的大小.

例6．(2006年全国卷II)已知抛物线x²＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且＝λ(λ＞0)．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．

(Ⅰ)证明·为定值；

(Ⅱ)设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．

［解］ (Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．由＝λ，即得　(－x₁，1－y)＝λ(x₂，y₂－1)，

将①式两边平方并把y₁＝x₁²，y₂＝x₂²代入得y₁＝λ²y₂　 ③

解②、③式得y₁＝λ，y₂＝，且有x₁x₂＝－λx₂²＝－4λy₂＝－4，

抛物线方程为y＝x²，求导得y′＝x．

所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是y＝x₁(x－x₁)+y₁，y＝x₂(x－x₂)+y₂，

即y＝x₁x－x₁²，y＝x₂x－x₂²．

解出两条切线的交点M的坐标为(，)＝(，－1)．　

所以·＝(，－2)·(x₂－x₁，y₂－y₁)＝(x₂²－x₁²)－2(x₂²－x₁²)＝0

所以·为定值，其值为0．　　

　(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝|AB||FM|．

|FM|＝＝＝

＝＝+．

因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，

所以|AB|＝|AF|+|BF|＝y₁+y₂+2＝λ++2＝(+)²．

于是S＝|AB||FM|＝(+)³，由+≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．

［警示］有向线段所成的比，线段的定比分点等概念，本身就是解析几何研究的一类重要问题。向量概念的引入，使这类问题的解决显得简洁而流畅。由于向量可以用一条有向线段来表示，有向线段的方向可以决定解析几何中直线的斜率，故直线的方向向量与解析几何中的直线有着天然的联系。求解此类问题的关键是：根据直线的方向向量得出直线方程，再转化为解析几何问题解决。求解这类问题可以用定比分点公式，也可以直接用有向线段的比解题。另外，向量的长度，点的平移等与解析几何都有着千丝万缕的联系，向量与解析几何的结合，为解决这些问题开辟了新的解题途径。

［变式训练］

4．设为抛物线上位于轴两侧的两点.

(1)若，证明：直线恒过一定点；

(2)若为坐标原点为钝角，求直线在轴上的截距的取值范围.

例5．设抛物线y²＝2px(p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O.

［剖析］证直线AC经过原点O，即证O、A、C三点共线，为此只需证k_OC=k_OA.本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决.

［解］解法一：设直线方程为y＝k(x)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，C(，y₂).

∴，

∴又∵y₁²＝2px₁　 ∴k_OC＝＝k_OA

即k也是直线OA的斜率，所以AC经过原点O.

当k不存在时，AB⊥x轴，同理可得k_OA＝k_OC，所以AC经过原点O.

解法二：因为抛物线y²＝2px(p＞0)的焦点为，由于直线斜率不为0，所以经过点的直线的方程可设为，代入抛物线方程消去得.若记，则是该方程的两个根，所以，因为轴，且点在准线上，所以点的坐标，

故直线的斜率为，

即也是直线的斜率，所以直线经过原点.

解法三：如图，过A作AD⊥l，D为垂足，则：AD∥EF∥BC

连结AC与EF相交于点N，

则

由抛物线的定义可知：|AF|＝|AD|，|BF|＝|BC|

∴|EN|＝＝|NF|.

即点是的中点，与抛物线的顶点重合，所以直线经过原点.

［警示］本例实际揭示了抛物线焦点弦的一个几何性质“A、O、C三点共线”.其中证法一采用常规的坐标法，借助代数推理进行，解题思路容易找到，但容易漏解；证法二中将直线设为有两个好处：一是它包括了轴的情形，避免了将直线的斜率作为参数时对轴情况的讨论；二是可以直接求得；证法三采用圆锥曲线的几何性质，借助平面几何的方法进行推理，体现了数与形的结合.解题思路宽，而且几何方法较之解析法比较快捷便当.从审题与思维深度上看，几何法的采用，源于思维的深刻.另外，本题也可以采用平面向量加以证明，同学们可以试一下.

［变式训练］

3. 已知为抛物线的动弦，且为常数且，求弦的中点离轴的最近距离.

例4．如图所示，线段过轴正半轴上一定点，端点到轴的距离之积为以轴为对称轴，过三点作抛物线。

(1)求抛物线的方程；

(2)若，求的取值范围.

［剖析］此题目利可将直线方程与抛物线的方程联立，消去后利用韦达定理，求得抛物线方程；在考虑角度问题时一般利用余弦定理。

［解］(1)由题意设抛物线的方程为，直线的方程为，

由，由韦达定理得

由已知条件知，从而，故抛物线方程为.

(2)由 ，设

由，得

即，化简得

因为且，

即，，解得：或(舍)

故的取值范围为

［警示］(1)涉及几何性质的问题往往要结合图形来进行思考，通过图形可以看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等.

　　　 　(2)对解题过程进行完备性思考是必要的，这样可以有效地避免错误，本题若缺少这种思考，很容易误认为答案就是或，其实当时，，并非是.

　　　 (3)本题若将直线的方程设为点斜式，则需要讨论轴的情形.

［变式训练］

2．求满足下列条件的抛物线方程

(1)抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，抛物线上一点到焦点的距离为5；

(2)以原点为顶点，从坐标轴为对称轴，并且经过点.

例3．设点为抛物线的顶点，是抛物线的焦点且为过焦点的弦，若，求的面积.

［剖析］本题将焦点弦分成两段，利用定义将焦点弦长用两端点横坐标表示，结合方程，通过韦达定理产生问题的结论。另外，将所在直线方程设为，这样可以避免斜率存在与否的讨论.

［解］取为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，，为焦点，抛物线方程为.

设，所在的直线为.

由得，则

.由抛物线的定义，焦点弦长

.

［警示］若直线交抛物线于两点，交轴于，为坐标原点，则三角形的面积为.

［变式训练］