2. 直线和平行的条件是　　　　　( 　)

　 　或

1.若过两点和的直线与直线平行，则的值为( 　)　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　

5 　 4　 　 9　　　 0

2．已知两直线的位置关系，求字母系数值的方法(注意：要对直线斜率不存在的情况进行讨论)．

例4：求过点，且与直线平行的直线方程．

分析：抓住题目中的有效信息，直线平行则斜率相等，然后结合点，利用点斜式便能求出直线方程．

[解]已知直线的斜率，

∵两直线平行，∴所求直线的斜率也为，

所以，所求直线的方程为：，即．

另解：设与直线平行的直线的方程为：，

过点，∴，解之得，

所以，所求直线的方程为．

点评:(1)一般地与直线平行的直线方程可设为，其中待定；

(2)把上题改为求与直线平行，且在两坐标轴上的截距之和为的直线的方程．()

追踪训练一

2．通过分类讨论、数形结合等数学思想的应用，培养学生思维的严谨性和辨证性．

[课堂互动]

自学评价

判定直线与平行的前提是：­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

是不重合的两条直线；

如果、斜率都存在，则直线平行能得到斜率相等，反之，斜率相等也能得到直线平行；

如果、斜率都不存在，那么两直线都垂直于轴，故它们 平行 ．

[精典范例]

例1：已知直线方程：：，证明：//．

分析：在两条直线斜率都存在的情况下，若要证明两直线平行，即证斜率相等.

[证明]把和的方程写成斜截式

：，：，

∵，，∴//．

点评:(1)判定两直线平行的条件是直线的斜率和截矩，因此，要把方程化为斜截式；

(2)判定两直线平行，首先判断斜率相等，若两直线斜率相等，则两直线可能平行也可能重合，还需再进一步判断截距不相等；

如果两条直线斜率不存在，两条直线为，只需即可．

(3)判定两直线重合，首先判断两条直线斜率相等，再判定截距相等．如果两条直线斜率都不存在，两直线，只需即可．

例2：求证：顺次连结四点所得的四边形是梯形．

分析：判断一个四边形是梯形，不仅要判断一组对边平行，还要判断另一组对边不平行．

[证明]∵，

，∴，

从而．

又∵，

，∴，

从而直线与不平行，

∴四边形是梯形．

点评：在判断哪组对边平行时，不妨先在坐标系中将各点画出，结合图形作判断，再进行证明．

例3：(1)两直线和的位置关系是 平行或重合．

(2)若直线：与：互相平行，则的值为．

分析：(1)若两直线斜率不等，必定相交；若两直线斜率相等，则平行或重合；

(2)在两直线斜率存在的前提下，若两直线平行，则斜率相等，可以此来求直线方程中的字母系数.

[解](2)①当时，

，∴，∴，

即，解得或，

当两方程化为与显然平行，

当 两方程化为与两直线重合，

∴不符合，

②当时，两直线不平行，

∴．

点评: 1．已知两直线的方程，判断它们位置关系的方法；

1．掌握用斜率判定两条直线平行的方法，并会根据直线方程判断两条直线是否平行；

3．证明：不论取什么实数，直线

恒过定点，并求出该定点坐标．

提示：仿“例6”可证得直线过定点．

2．若直线经过第一、二、三象限，求实数满足的条件．

答案：将直线方程化为：，由已知可得；

当时，直线方程为，不满足条件，

∴实数满足条件

例6：求证：不论取什么实数，直线

恒过定点，并求此定点坐标．

[解]法1：令得；令得；两直线交点为，将点坐标代入原直线方程，得

恒成立，因此，直线过定点．

法2：将方程化为

，

当即时，以上方程恒成立，即定点的坐标恒满足原直线方程，因此，直线过定点．

例7：在例5中，能证明“直线恒过第三象限”吗？

提示：直线恒过定点，而点在第三象限．

思维点拔：

证明直线过定点问题，要找到一定点，证明其坐标始终满足直线方程即可，通常采用“例6”中的两种方法来寻求定点．

追踪训练二

1．若，则直线不经过(　 　)

第一象限　　　 第二象限

第三象限　　　 第四象限

例5: 若直线不经过第二象限，求的取值范围．

分析：可以从直线的斜率和直线在轴上的截距两方面来考虑．

[解]直线方程可化为：

，

由题意得：，解得．

例3：求经过点且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程．

分析： 涉及直线在坐标轴上的截距时，可选择直线方程的截距式．

[解]设直线在轴与轴上的截距分别为，①当时，设直线方程为，

∵直线经过点，∴，

∵，∴或，∴直线方程为 或；

②当时，则直线经过原点及，

∴直线方程为 ，

综上，所求直线方程为或或．

点评:题设中涉及到了直线在两坐标轴上的截距，因此可考虑用截距式，但应注意到截距能否为零，这是应用截距式求直线方程最易出错和疏忽的地方．

例4：直线与两坐标轴在第一象限围成的三角形面积为2，两截距之差为3，求直线的方程．

分析：根据题意，直线在两坐标轴上截距都大于零，因此可以用截距式方程．

[解]由题意，直线在两坐标轴上截距都大于零，

故可设直线方程为，

由已知得：，

解得或

或(舍)或(舍)

∴直线方程为或．

思维点拔：

过两点的直线能写成两点式的条件是且，如果没有这个条件，就必须分类讨论，这点容易被忽略；只有当直线在坐标轴上的截距都不为零时，才可以用直线方程的截距式．

追踪训练二

1．求过点，在轴和轴上的截距分别为，且满足的直线方程．

答案：分截距为零、不为零两种情况讨论，可得所求直线方程为或．