例3: 已知圆，圆，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．

分析：因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程，联立方程组，消去项、项，即得两圆的两个交点所在的直线方程，利用勾股定理可求出两圆公共弦长．

[解]设两圆交点为、，则两点坐标满足方程组

　 ，得．

因为，两点坐标都满足此方程，

所以，即为两圆公共弦所在的直线方程．

易知圆的圆心，半径．

又到直线的距离为

．所以，

．即两圆的公共弦长为．

点评:本题较为复杂，要讨论的情况比较多，解题过程中要 注重分析．

例5：求过两圆 的交点，且圆心在直线上的圆的方程．

分析：所求圆圆心是两已知圆连心线和已知直线的交点，再利用弦心距、弦长、半径之间的关系求圆半径

[解](法一)可求得两圆连心线所在直线的方程为．

由得圆心．

利用弦心距、弦长、半径之间的关系可求得公共弦长，　　　 所以，圆半径

．

所以，所求圆方程为，

即

(法二)设所求圆的方程为即．

故此圆的圆心为，它在直线上， 所以，所以．

所以所求圆方程为

点评:“解法二”中设出的经过两已知圆交点的圆方程叫做经过两已知圆的圆系方程．

思维点拔：

解题时要充分利用两圆位置关系的几何性质．

追踪训练二

1．一个圆经过圆和圆的两个交点，且圆心在直线上，求该圆的方程．

答案：．

2．若直线与有两个不同的交点，求实数的取值范围．

答案：．

例4: 已知圆，求该圆与轴和轴的截距相等的切线的方程.

分析：用待定系数法求解．

[解]由题意设切线与轴和轴的截距为，，则

①时，设的方程为，即，

因为直线和圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，故

解得或

所以的方程为或

②时，设的方程为，即

所以，解得或

所以的方程为或

综上所述：的方程为或或或

.

点评:本题较为复杂，要讨论的情况比较多，解题过程中要注重分析．

例5：若直线与恰有一个公共点，求实数的取值范围.　

分析：由题意可化为表示一个右半圆，如图所示，对于当变化时所得的直线是互相平行的，由图可知与半圆有一个交点

与半圆正好有两个交点，所以位于和之间的直线都与半圆只有一个交点，另外与半圆相切也符合题意

[解]由题意可化为

表示一个右半圆，如图所示

直线的方程为：，

直线的方程为：，

因为直线与半圆相切，

所以，解得

所以直线的方程为：，

由图可知位于和之间的直线都与半圆只有一个交点，且与半圆相切，

所以实数的取值范围为：

或　　

点评:本题应用数形结合的方法去解题．

思维点拔：

在解决直线与圆的位置关系的问题时，我们通常采用“几何法”．例如，求与圆相切的直线方程时，先用待定系数法设出直线方程，然后根据即可求得．这种数形结合的思想贯穿了整个章节．

追踪训练二

1．已知圆，求该圆与轴和轴的截距的绝对值相等的切线的方程．

答案：或．

4.求圆关于直线对称的图形的方程．

[解]可化为

，圆心关于直线的对称点为，所以对称的图形的方程为：．

思维点拔：

在确定圆的方程时，应根据已知条件与圆的标准方程和圆的一般方程的各自特点，灵活选用圆方程的形式．在解题时注意运用平面几何知识及数形结合的思想．

3. 求过三点的圆的方程．

[解]设圆的方程为

，

∵，，三点都在圆上，

∴，，三点坐标都满足所设方程，把代入所设方程，

得：，

解得：，所以，所求圆的方程为：．

2．圆的圆心为：，半径为．

1.下列方程各表示什么图形？

(1)；

(2)；

(3)．

[解](1)圆心为，半径为2的圆；

(2)一个点；

(3)一个圆心为，半径为的一个半圆()(图略)．

4．圆的一般方程：

．

注意：对于圆的一般方程

(1)和的系数相等，且都不为(通常都化为)；

(2)没有这样的二次项；

(3)表示圆的前提条件：

，通常情况下先配方配成，通过观察与的关系，观察方程是否为圆的标准方程，而不要死记条件．

[精典范例]

例1：求过三点的圆的方程．

分析：由于不在同一条直线上，因此经过三点有唯一的圆．

[解]：法一：设圆的方程为

，

∵三点都在圆上，

∴三点坐标都满足所设方程，把代入所设方程，

得：，

解得：，

所以，所求圆的方程为：

．

法二：也可以求和中垂线的交点即为圆心，圆心到的距离就是半径也可以求的圆的方程：．

点评:通常在求圆心与半径方便时用标准方程，在已知圆三个点时通常用一般方程求解．

例2：已知线段的端点的坐标是

，端点在圆上运动，求线段中点的坐标中满足的关系？并说明该关系表示什么曲线？

分析：线段的端点静止，在圆

上运动，因此我们可以设出的坐标，从而得到中点的坐标．

[解]设点的坐标是，由于点的坐标是，且是的中点，所以(＊)

于是，有

因为点在圆上运动，所以点的坐标满足方程，

即：(＊＊)，

将(＊)式代入(＊＊)，得：

，

整理得

所以满足的关系为：，

其表示的曲线是以为圆心，1为半径的圆．

点评: 该圆就是点的运动的轨迹；所求得的方程就是点的轨迹方程：点的轨迹方程就是指点的坐标满足的关系式．本题的方法为求轨迹方程的一种基本方法，注意方法的归纳总结．

例3：某圆拱桥的示意图如右图，该圆拱的跨度是米，拱高是米，在建造时，每隔米需用一个支柱支撑，求支柱的长度(精确到米)．

分析：若能够知道该圆拱所在的圆的方程，问题就变的很简单了，所以，我们联想到建立相应的直角坐标系，将问题转化为求圆的方程．

[解]以线段所在直线为轴，线段的中点为坐标原点建立直角坐标系，那么点的坐标分别为

；

设圆拱所在的圆的方程为

，

∵点在所求的圆上，则坐标代入得：

，解之得，

∴圆拱所在的圆的方程为：

；

将点的横坐标代入圆方程，解得(舍去负值)．

答：支柱的长约为米．

点评:本题的关键利用图形建立直角坐标系，求出圆拱所在圆的方程，用代数的方法研究几何问题．

追踪训练一

3.形如的都表

示圆吗？不是　．

(1)当时，方程表

示以为圆心，

为半径的圆；

(2)当时，方程表示一个点；

(3)当时，方程无实数解，即方程不表示任何图形；

2.将展开得：

　．