3．学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力．

[课堂互动]

自学评价

(1)求两直线的交点坐标只需将这两条直线的方程联立成方程组， 方程组的解 即为交点坐标.

(2)在解由两直线的方程组成的方程组的时候可能出现的三种结果是：

①方程组有一组解，该解为 交点坐标 ；

②方程组有无数组解，此时两直线的位置关系为 重合 ，交点个数为 无数个 ；

③方程组无解，此时两直线的位置关系是 平行 ，交点个数为 0个．

[精典范例]

例1：分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点：

(1):，:；

(2):，

:；

(3):，:．

[解](1)因为方程组的解为,

因此直线相交，交点坐标为．

(2)方程组有无数组解，

这表明直线重合．

(3)方程组无解，

这表明直线没有公共点，故∥．

点评: 研究两条直线的位置关系(相交、重合、平行)可以转化为两条直线方程所得的方程组的解的个数问题．

例2：直线经过原点，且经过另外两条直线，的交点，求直线的方程．

分析：法一 由两直线方程组成方程组，求出交点，再过原点，由两点求直线方程．

法二 设经过两条直线，交点的直线方程为，又过原点，由代入可求的值．

点评:已知直线:，:相交，那么过两直线的交点的直线方程可设为

例3：某商品的市场需求(万件)、市场供求量(万件)、市场价格(元/件)分别近似地满足下列关系：．当时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．

(1)求市场平衡价格和平衡需求量；

(2)若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给予多少元补贴？

分析：市场平衡价格和平衡需求量实际上就是两直线交点的横坐标和纵坐标，即方程组的解．

[解](1)解方程组得，

故平衡价格为30元/件，平衡需求量为40元/件．

(2)设政府给予元/件补贴，此时的市场平衡价格(即消费者支付价格)元/件，则供货者实际每件得到元．依题意得方程组，解得．

因此，政府对每件商品应给予6元补贴．

点评:这是一道关于两直线交点的实际应用题,关键要读懂题目意思,而后通过解方程组解决问题.

追踪训练一

2．当两条直线相交时，会求交点坐标；

1．知道两条直线的相交、平行和重合三种位置关系，对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解；

4．分别经过点A(1,2)、B(2,4)的两条直线互相平行，当它们之间的距离达到最大时，求这两条直线的方程．

答案:经过的直线分别是及．

3．过点的所有直线中，距离原点最远的直线方程是．

2．由四条直线：，，，围成的四边形是　　　　　　　　　　　　　　　　 ( 　)

等腰梯形梯形 长方形正方形

1．若直线与互相垂直，则实数的值为．

2．在解有关两直线平行或垂直问题时,应注意它们的斜率是否存在,否则需分类讨论.

追踪训练二

1．求直线方程时，与或平行的直线可分别设为或(其中为待定系数)；与或垂直的直线可分别设为或(其中为待定系数)．

4. 已知两直线，，求证：．

[选修延伸]

例4：(课本第91页 习题 第12题)直线和的方程分别是和，其中不全为0，也不全为0，试探究：

(1)当时，直线方程中的系数应满足什么关系？

(2)当时，直线方程中的系数应满足什么关系？

分析：由于和的斜率可能不存在，因此分类讨论．

[解](1)①当两直线方程中的系数有一个为0时，

不妨设，则必有，此时直线垂直于轴，其方程为，由知也垂直于轴，其方程可以为，

此时满足；反之也成立．

②当两直线方程中的系数均不为0时，

直线和的斜率分别为，，由得，

即．反之也成立．

综合①②可知：当时，．

(2)①当两直线方程中的系数有一个为0时，

不妨设，则必有，此时直线垂直于轴，其方程为，由知，直线平行于轴，故其方程为，

满足，；反之也成立．

②当两直线方程中的系数均不为0时，

直线和的斜率分别为，，

由知，，∴．反之也成立．

综合①②可知：当时，．

点评：斜率是否存在的讨论是本题的难点所在．另外，分类讨论的数学思想也得到了充分的体现．

思维点拔：