20.解:(1)当m=3时,f(x)= x3-3x2+5x,f ′ (x)=x2-6x+5.……………………………………1分

因为f(2)= ,f ′ (2)=-3,所以切点坐标为(2,),  …………………………………………2分

切线的斜率为-3. …………………………………………………………………………………3分

则所求的切线方程为y- =-3(x-2),即9x+3y-20=0.……………………………………4分

(2)解法一:f ′ (x)=x2-2mx+(m2-4),令f ′ (x)=0,得x=m-2或x=m+2. ………………6分

当x∈(-∞,m-2)时,f ′ (x)>0,f(x)在(-∞,m-2)上是增函数; 当x∈(m-2,m+2)时,f ′ (x)<0,f(x)在(m-2,m+2)上是减函数; 当x∈(m+2,+∞)时,f ′ (x)>0,f(x)在(m+2,+∞)上是增函数.……………………9分

因为函数f(x)有三个互不相同的零点0,α,β,且f(x)=x[x2-3mx+3(m2-4)],

所以解得m∈(-4,-2)∪(-2,2)∪(2,4).

当m∈(-4,-2)时,m-2<m+2<0,所以α<m-2<β<m+2<0.

此时f(α)=0,f(1)>f(0)=0,与题意不合,故舍去;

当m∈(-2,2)时,m-2<0<m+2,所以α<m-2<0<m+2<β.

因为对任意的x∈[α,β],都有f(x)≥f(1)恒成立,所以α<1<β.

所以f(1)为函数f(x)在[α,β]上的最小值.

因为当x=m+2时,函数f(x)在[α,β]上取最小值,所以m+2=1,即m=-1;

当m∈(2,4)时,0<m-2<m+2,所以0<α<m-2<m+2<β.

因为对任意的x∈[α,β],都有f(x)≥f(1)恒成立,所以α<1<β.

所以f(1)为函数f(x)在[α,β]上的最小值.

因为当x=m+2时,函数f(x)在[α,β]上取最小值,所以m+2=1,即m=-1 (舍去).……15分

综上可知,m的取值范围是{-1}.………………………………………………………………16分

解法二:f ′ (x)=x2-2mx+(m2-4),令f ′ (x)=0,得x=m-2或x=m+2.……………………6分

所以,当x∈(-∞,m-2)时,f ′ (x)>0,f(x)在(-∞,m-2)上是增函数; 当x∈(m-2,m+2)时,f ′ (x)<0,f(x)在(m-2,m+2)上是减函数; 当x∈(m+2,+∞)时,f ′ (x)>0,f(x)在(m+2,+∞)上是增函数.……………………9分

当α<β<0时,必有α<m-2<β<m+2<0,则当x∈[α,β]时,f(x)的最小值是f(α)=0.

此时f(1)>f(0)=0=f(α),与题意不合,故舍去;

当α<0<β时,则有α<m-2<0<m+2<β,此时3(m2-4)<0,即-2<m<2.

因为对任意的x∈[α,β],都有f(x)≥f(1)恒成立,所以α<1<β.

所以f(1)为函数f(x)在[α,β]上的最小值.

又函数f(x)在[α,β]上的最小值就是极小值,所以f′(1)=0,得m=3(舍去)或m=-1;

当0<α<β时,则有0<α<m-2<m+2<β,此时

解得m∈(2,4).

因为对任意的x∈[α,β],都有f(x)≥f(1)恒成立,所以α<1<β.

所以f(1)为函数f(x)在[α,β]上的最小值.

又函数f(x)在[α,β]上的最小值就是极小值,所以f ′(1)=0,得m=3或m=-1(舍去).

又因为当m=3时,f(1)为极大值,与题意不合,故舍去.……………………………………15分

综上可知,m的取值范围是{-1}.………………………………………………………………16分

 0  250082  250090  250096  250100  250106  250108  250112  250118  250120  250126  250132  250136  250138  250142  250148  250150  250156  250160  250162  250166  250168  250172  250174  250176  250177  250178  250180  250181  250182  250184  250186  250190  250192  250196  250198  250202  250208  250210  250216  250220  250222  250226  250232  250238  250240  250246  250250  250252  250258  250262  250268  250276  447090 

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