(四)运用函数思想解决实际问题

　例5：一个圆台形物体的上底面积是下底面积的，如果按下图放在桌上，对桌面的压强是200帕，翻过来放，对桌面的压强是多少？

(三)运用函数思想解不等式

　例3：解不等式3x-6≥0

　分析与解答：令y=3x-6，在平面直角坐标系中画出函数y=3x-6图象。 　

　观察图象，3x-6≥0即函数值y≥0。函数值y≥0体现在图象上是在x轴上方部分(含直线与x轴交点)，求3x-6≥0的解集就是求它所对应的自变量x的值，∴不等式3x-6≥0的解集是x≥2，这与直接解不等式结果相同。

　例4：解不等式x²-2x-3<0

　分析与解答：令y=x²-2x-3，这里x²-2x-3<0实质上是函数y的值小于零。在平面直角坐标系中画出函数y=x²-2x-3的图象。

　观察图象y<0体现在图象上是x轴下方部分，∴不等式x²-2x-3<0的解集是-1<x<3.另外通过观察图象还可以得出不等式x²-2x-3>0的解集是x<-1或x>3。

(二)运用函数思想解方程组

　例2：利用函数图象解二元一次方程组。

　 　分析与解答：由(1)得y=3-x，由(2)得y=3x-5，这实质是两个y与x之间的一次函数，在平面直角坐标系中先画出这两条直线。

　(1) 　(2)

　两条直线有一个交点，交点的坐标就表示两个方程的公共解，交点的坐标是(2，1)，所以原方程组的解是，这与用代入法或加减法解得的结果相同。

(一)运用函数思想求最值

　例1:如图：一个矩形ABCD，它的周长为20cm，当边长为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？

　分析与解答:运用函数思想，应首先构造一个函数。令AB=xcm，则BC=(10-x)cm.因此矩形面积y=x(10-x). 　面积y是边长x的二次函数，y=-x²+10x，经过配方：y=-(x-5)²+25. 　∴当x=5cm时，y的最大值是25cm²，实质上这时四边形ABCD是一个正方形，即当边长AB=5cm时，矩形面积最大，最大面积是25cm².

　例1．已知P(m, n)是一次函数y=-x+1图象上的一点，二次函数y=x²+mx+n的图象与x轴两个交点的横坐标的平方和为1，问点N(m+1, n-1)是否在函数y=-图象上。

　分析：P(m, n)是图象上一点，说明P(m, n)适合关系式y=-x+1，代入则可得到关于m,n的一个关系，二次函数y=x²+mx+n与x轴两个交点的横坐标是方程x²+mx+n=0的两个根，则x₁+x₂=-m, x₁x₂=n, 由平方和为1即x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=1，又可得到关于m, n的一个关系，两个关系联立成方程组，可解出m, n，这种利用构造方程求函数系数的思想最为常见。

　解：∵P(m,n)在一次函数y=-x+1的图象上，

　∴ n=-m+1, ∴ m+n=1.

　设二次函数y=x²+mx+n的图象与x轴的两个交点的横坐标为x₁,x₂,

　∴x₁²+x₂²=1,

　又∵x₁+x₂=-m, x₁x₂=n,

　∴ (x₁+x₂)²-2x₁x₂=1, 即m²-2n=1

　由解这个方程组得：或。

　把m=-3, n=4代入x²+mx+n=0,

　x²-3x+4=0, Δ<0.

　∴ m=-3, n=4(舍去).

　把m=1, n=0代入x²+mx+n=0,

　x²+x=0, Δ>0

　∴点N(2，-1)，

　把点N代入y=-,当x=2时，y=-3≠-1.

　∴点N(2，-1)不在图象y=-上。

　说明：这是一道综合题，包括二次函数与一次函数和反比例函数，而且需要用到代数式的恒等变形，与一元二次方程的根与系数关系结合，求出m、n值后，需检验判别式，看是否与x轴有两个交点。当m=-3, n=4时，Δ<0，所以二次函数与x轴无交点，与已知不符，应在解题过程中舍去。是否在y=-图象上，还需把点(2，-1)代入y=-，满足此函数解析式，点在图象上，否则点不在图象上。

　例2．直线 y=-x与双曲线y=-的两个交点都在抛物线y=ax²+bx+c上，若抛物线顶点到y轴的距离为2，求此抛物线的解析式。

　分析：两函数图象交点的求法就是将两函数的解析式联立成方程组，方程组的解既为交点坐标。

　解：∵直线y=-x与双曲线y=-的交点都在抛物线y=ax²+bx+c上，

　由　解这个方程组，得x=±1.

　∴当x=1时，y=-1.

　当x=-1时，y=1.

　经检验：，都是原方程的解。

　设两交点为A、B，∴A(1，-1)，B(-1，1)。

　又∵抛物线顶点到y轴的距离为2，∴ 抛物线的对称轴为直线x=2或x=-2，

　当对称轴为直线x=2时，

　设所求的抛物线解析式为y=a(x-2)²+k，又∵过A(1，-1)，B(-1，1)，

　∴　解方程组得

　∴ 抛物线的解析式为y=(x-2)²-

　即 y=x²-x-.

　当对称轴为直线x=-2时，设所求抛物线解析式为y=a(x+2)²+k,

　则有　解方程组得，

　∴ 抛物线解析式为y=-(x+2)²+

　y=-x²-x+.

　∴所求抛物线解析式为：y=x²-x-或y=-x²-x+。

　说明：在求直线和双曲线的交点时，需列出方程组，通过解方程组求出x, y值，双曲线的解析式为分式方程，所以所求x, y值需检验。抛物线顶点到y轴距离为2，所以对称轴可在y轴左侧或右侧，所以要分类讨论，求出抛物线的两个解析式。

　例3、已知∠MAN=30°，在AM上有一动点B，作BC⊥AN于C，设BC的长度为x，△ABC的面积为y，试求y与x之间的函数关系式。

　分析：求两个变量y与x之间的函数关系式，就是想办法用x表示y,，BC=x,则想办法先用含x的代数式表示AC。

　解：如图 　在Rt△ABC中， 　∵∠A=30°，∠BCA=90° BC=x，

　∴AC=BC=x 　∴

　说明：在含有30°、45°、60°的直角三角形中，应注意利用边之间的特殊倍数关系(如AC=BC)。

　例4、如图，锐角三角形ABC的边长BC＝6，面积为12，P在AB上，Q在AC上，且PQ∥BC，正方形PQRS的边长为x，正方形PQRS与△ABC的公共部分的面积为y。 　(1)当SR恰落在BC上时，求x， 　(2)当SR在△ABC外部时，求y与x间的函数关系式； 　(3)求y的最大值。

略解：(1)由已知，△ABC的高AD=4。 　

　∵△APQ∽△ABC，(如图一)

　设AD与PQ交于点E　∴　∴　∴

　(2)当SR在△ABC的外部时， 同样有， 　则，即AE=

　∴y=ED·PQ＝x(4-)=-²+4x()

　(3)∵a=-<0,y=-其中,

　∴当x=3时,y取得最大值6.

　说明:此例将线段PQ的长设为x,正方形PQRS与△ABC的公共部分的面积设为y,寻找它们之间的函数关系.注意自变量的取值范围;在y取最大值时,要注意顶点(3,6)的横坐标是否在取值范围内.

　例5．( 潍坊市中考题)某公园草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4m加设不锈钢管(如图一)作成的立柱。为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图二所示的坐标系进行计算。 　(1)求该抛物线的解析式； 　(2)计算所需不锈钢管立柱的总长度。

　分析：图中给出了一些数量，并已经过护栏中心建立了平面直角坐标系， 所以求二次函数的解析式关键是找到一些条件建立方程组。因为对称轴是 y轴，所以b=0,可以设二次函数为y=ax²+c.

　解：(1)在如图所示坐标中，设函数解析式为y=ax²+c,B点坐标为(0,0.5)，C点坐标为(1，0)。

　分别代入y=ax²+c得：　，解得 　抛物线的解析式为：y=-0.5x²+0.5

　(2)分别过AC的五等分点，C₁，C₂，C₃，C₄，作x轴的垂线，交抛物线于B₁，B₂，B₃，B₄，则C₁B₁，C₂B₂，C₃B₃，C₄B₄的长就是一段护栏内的四条立柱的长，点C₃，C₄的坐标为(0.2，0)、(0.6,0)，则B₃，B₄点的横坐标分别为x₃=0.2,x₄=0.6. 　将x₃=0.2和x₄=0.6分别代入 　y=-0.5x²+0.5得y₃=0.48,y₄=0.32

　由对称性得知，B₁，B₂点的纵坐标：y₁=0.32,y₂=0.48

　四条立柱的长为：C₁B₁=C₄B₄=0.32(m) C₂B₂=C₃B₃=0.48(m) 　所需不锈钢立柱的总长为 　(0.32+0.48)×2×50=80(m)。

　答：所需不锈钢立柱的总长为80m。

　1.(徐州市)函数y=ax²+a与y=在同一坐标系中的图像可能是：(　 )

　分析：当a>0时，函数y=ax²+a与y=的图象应满足性质 　图象y=ax²+a ①开口向上；②与y轴交点(0, a)在y轴正半轴；③对称轴为y轴 　图象y=应满足双曲线在一、三象限 　从A、C中，A明显不合题意，对称轴不是y轴 　C中抛物线与y轴交点(0, a)不在y轴的正半轴 　当a<0时，从B、D中选择。 　a<0图象y=ax²+a特点是①开口向下；②对称轴y轴；③与y轴交点(0, a)在y轴的负半轴。 　图象y=特点，双曲线在二、四象限， 　故选D。也可以一个个图象依次分析。

　2.(扬州市)已知四点A(1，2)，B(3，0)，C(－2，20)，D(－1，12)。试问，是否存在一个二次函数，使它的图像同时经过这四点。如果存在，请求出它的解析式；如果不存在，请说明理由。

　分析：可以通过三点先确定一个抛物线，再考察第四个点是否满足抛物线的解析式。若满足，则可确定同时过四点的抛物线；若不满足，则不存在同时过四点的抛物线。

　解：设二次函数y=ax²+bx+c的图像经过A、B、D三点 　则，解得 　即二次函数y=x²-5x+6的图像通过A、B、D三点，经计算C(-2，20)的坐标也满足上式，因此点D也在此函数图像上，故存在一个二次函数y=x²-5x+6，它的图象同时经过A、B、C、D四点。

　3.( 苏州市)已知：一次函数y=2x+k－3和反比例函数y=的图像都经过点A(n，2)。 　(1)求n的值和这个一次函数的解析式； 　(2)在下边的坐标系中画出这两个函数的大致图像(不必列表)； 　(3)根据图像判断：使这两个函数的值的都为非负数的自变量x的取值范围是　　　 。

　(1)解:∵的图像过点A(n，2), 　∴2= ∴n=2 　∵一次函数的图像过点A(2,2), ∴2=4+k-3, ∴k=1 　∴它的解析式为y=2x-2

　(2)(画出两个函数的大致图像各得1分) 　(3)x≥1.

　4.(天门市)如图，已知抛物线与x轴负半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，求抛物线的解析式和它的顶点坐标。

　分析：确定抛物线的解析式，通常需要三个条件。图中已知一些线段OB、CB的长，并知道∠CAO=30°，由此可以求出A、B、C三点坐标。

　解：在RtΔBOC中，， 　∴ 　在RtΔAOC中，∠CAO=30 　∴ 　∴A，B，C(0，3)

　(注意：将线段的长度转化为点的坐标时，一定要根据条件添加符号；反过来将坐标转化为线段的长度时，要加绝对值。) 　∵A、B、C三点在抛物线上 　∴，解得 　∴抛物线的解析式为： 　∵y=x²+x+3=(x²+4x+9)=[(x+2)²-(2)²+9]=(x+2)²-1 　∴抛物线的顶点坐标为

　5.(石家庄市)一河流每小时流入水库2千m³水，到春天需由水库开闸放水灌溉麦田，若开闸时水库恰好蓄水2亿m³，并且开闸时每小时放水4千m³。 　(1)求水库的蓄水量y与灌溉时间t之间的函数关系式； 　(2)已知每公顷小麦灌溉一次大约需用水1千m³，若水库的畜水量在灌溉期间其存水量必须不能少于100万m³水，这样，求水库的水最多能连续灌溉多少公顷麦田。

　分析：此题是函数方面的应用题，所谓函数，就是两个变量之间的关系，与列方程一样，将两个变量之间的关系列出，另外一定要注意题目中的数量换算。 　在解题时可将水的单位统一为千m³

　解：(1)y=200000+(2-4)t　 =200000-2t(t>0)，(y的单位是千m³)

　(2)200000-2t≥1000 　∴t≤99500(小时)

　灌溉1公顷麦田需用时间t'=小时 　∴995000÷=3980000(公顷)

　答：水库的水最多能连续灌溉3980000公顷麦田。

　5.(徐州市)设x₁、x₂是方程2x²－4mx+(2m²-4m-3)=0的两个实数根。 　(1)若y=,求y与m之间的函数关系式及自变量m的取值范围； 　(2)画出第(1)题中函数y的图像，观察图像，说明函数y有没有最小值或最大值，如果有，求出最大值或最小值；如果没有，说明理由。

　解：(1)x₁+x₂=2m,x₁x₂=m²-2m- 　 　∵△=(-4m)²-4×2×(2m²-4m-3) =16m²-16m²+32m+24 =32m+24 　由△≥0，得m≥-，∴y=2m²+4m+3(m≥-)

　(2)画图略。观察图像可知，当m≥-时，y随m的增大而增大， 　∴m=-时，y有最小值为，y没有最大值。(正确画出图像，得2分。“有最小值”、“没有最大值”各1分)。

函数思想的应用

　函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用好函数思想能解决许多数学问题。

4．二次函数y=ax²与y=a(x-h)²+k的关系：图象开口方向相同，大小、形状相同，只是位置不同。y=a(x-h)²+k图象可通过y=ax²平行移动得到。当h>0时，向右平行移动|h|个单位；h<0向左平行移动|h|个单位；k>0向上移动|k|个单位；k<0向下移动|k|个单位；也可以看顶点的坐标的移动, 顶点从(0，0)移到(h,k)，由此容易确定平移的方向和单位。

3．对于二次函数解析式，除了掌握一般式即：y=ax²+bx+c((a≠0)之外，还应掌握“顶点式”y=a(x-h)²+　k及“两根式”y=a(x-x₁)(x-x₂)，(其中x₁,x₂即为图象与x轴两个交点的横坐标)。当已知图象过任意三点时，可设“一般式”求解；当已知顶点坐标，又过另一点，可设“顶点式”求解；已知抛物线与x轴交点坐标时，可设“两根式”求解。总之，在确定二次函数解析式时，要认真审题，分析条件，恰当选择方法，以便运算简便。

　四种常见函数的图象和性质总结

	图象	特殊点	性质
一 次 函 数		与x轴交点 　与y轴交点(0，b)	(1)当k>0时，y随x的增大而增大； 　(2)当k<0时，y随x的增大而减小.
正 比 例 函 数		与x、y轴交点是原点(0,0)。	(1)当k>0时，y随x的增大而增大，且直线经过第一、三象限； 　(2)当k<0时，y随x的增大而减小，且直线经过第二、四象限
反 比 例 函 数		与坐标轴没有交点，但与坐标轴无限靠近。	(1)当k>0时，双曲线经过第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小； 　(2) 当k<0时，双曲线经过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
二 次 函 数		与x轴交点或，其中是方程的解，与y轴交点，顶点坐标是 (-,)。	(1)当a>0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸；对称轴是直线x=-, y最小值=。 　(2)当 a<0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸；对称轴是直线x=-, y最大值=

　方法有两种，一种是直接利用定义，结合几何直观图形，先求出有关垂线段的长，再根据该点的位置，明确其纵、横坐标的符号，并注意线段与坐标的转化，线段转换为坐标看象限加符号，坐标转换为线段加绝对值；另一种是根据该点纵、横坐标满足的条件确定，例如直线y=2x和y=-x-3的交点坐标，只需解方程组就可以了。

2．对解析式中常数的认识：

　一次函数y=kx+b (k≠0)、二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)及其它形式、反比例函数y=(k≠0),不同常数对图像位置的影响各不相同，它们所起的作用，一般是按其正、零、负三种情况来考虑的，一定要建立起图像位置和常数的对应关系。

28．(本题满分10分)

如图：∠MON =90°，在∠MON的内部有一个正方形AOCD，点A、C分别在射线OM、ON上，点B₁是ON上的任意一点，在∠MON的内部作正方形AB₁C₁D₁。

(1)连续D₁D，求证：∠ADD₁ = 90°；

(2)连结CC₁，猜一猜，∠C₁CN的度数是多少？并证明你的结论；

(3)在ON上再任取一点B₂，以AB₂为边，在∠MON的内部作正方形AB₂C₂D₂，观察图形，并结合(1)、(2)的结论，请你再做出一个合理的判断。

27．(本题满分10分)

为缓解油价上涨给出租车行业带来的成本压力，某市自2008年1月10日起，调整出租车运价，调整方案见下列表格及图象(其中a、b、c为常数)：

设行驶路程为时，调价前的运价为，调价后的运价为．如图，折线表示y₂与x之间的函数关系；线段EF表示0≤x≤3时，y₁与x之间的函数关系．根据图表信息，完成下列各题：

(1)填空：　　 ，　　　 ，　　　 ；

(2)写出当时，与x之间的函数关系式，并在上图中画出该函数图象；

(3)函数y₁ 与y₂的图象是否存在交点？若存在，求出交点坐标，并说明该点的实际意义．若不存在，请说明理由．