2、　 用三角板拼角

例4用一副三角板可以拼成小于平角的角　　　　 个。

分析：一副三角板中共有30°、45°、60°、90°四种角度，所以可以拼成30°、45°、60°、90°、75°、120°、105°、135°、150°、15°十个角。

解：用一副三角板可以拼成十个小于平角的角。

例5把一副三角板的直角顶点O重叠在一起，

1)如图4，当OB平分∠COD时，则∠AOD和∠BOC的和是多少度？

2)如图5，当OB不平分∠COD时，则∠AOD和∠BOC的和是多少度？

分析：本题渗透着由特殊到一般认识事物规律的思想。通过图4的特殊条件，探求出结论，再通过图5，把结论推广到一般情形。

解：1)∵OB平分∠COD∴∠COB=∠BOD=45°∴∠COA=90°-45°=45°∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOC=45°+90°+45°=180°

2)∵∠AOC+∠BOC=90°∠BOD+∠BOC=90°∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC∴∠AOD+∠BOC=(∠AOC+∠BOC)+(∠BOD+∠BOC)=90°+90°=180°

1、　 用三角板拼多边形

例1用两块完全重合的等腰直角三角板，拼成下列图形：

①平行四边形(一般平行四边形)②矩形(不包含正方形)③正方形④等边三角形⑤等腰直角三角形，一定能拼成的图形是：　　　　 ：

A)①②③　　　 B)①③⑤　　　　　 C)②③⑤　　　　 D)①③④⑤

分析：如图1，所示，可知两块完全重合的等腰直角三角板能拼成一般平行四边形、正方形、和等腰直角三角形。

解：选(B)。

例2 用含30°的两个直角三角板，能拼成不同形状的平行四边形的个数为 　　　：

A)1个　　　 B)2个　　　 C)3个　　　 D)4个

分析：如图2，所示，用含30°的两个直角三角板，能拼成不同形状的平行四边形为两个一般平行四边形和一个矩形。

解：选(C)

例3 用含30°的两个直角三角板，能拼成不同形状的四边形的个数为 　　　：

A)1个　　　 B)2个　　　 C)3个　　　 D)4个

分析：如图3，用含30°的两个直角三角板，能拼成不同形状的四边形的为两个一般平行四边形，一个矩形和一个凸四边形。

解：选(D)

2. 如图6，AD：DB＝1：3，AE：EC＝3：1，求BF：FC。

答案：1. 1：10；2. 9：1

例如：如图11-1：AB＝DC，∠A＝∠D 求证：∠ABC＝∠DCB。

分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中点N，连接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需证∠NBC＝∠NCB，再取BC的中点M，连接MN，则由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。问题得证。

证明：取AD，BC的中点N、M，连接NB，NM，NC。则AN=DN，BM=CM，在△ABN和△DCN中　　　 　∵ ∴△ABN≌△DCN　 (SAS)

　　　 ∴∠ABN＝∠DCN　　 NB＝NC (全等三角形对应边、角相等)

在△NBM与△NCM中

　　 ∵

∴△NMB≌△NCM，(SSS) ∴∠NBC＝∠NCB (全等三角形对应角相等)∴∠NBC+∠ABN ＝∠NCB+∠DCN

即∠ABC＝∠DCB。

巧求三角形中线段的比值

例1. 如图1，在△ABC中，BD：DC＝1：3，AE：ED＝2：3，求AF：FC。

解：过点D作DG//AC，交BF于点G　　 所以DG：FC＝BD：BC

因为BD：DC＝1：3　　 所以BD：BC＝1：4　　 即DG：FC＝1：4，FC＝4DG

因为DG：AF＝DE：AE　 又因为AE：ED＝2：3　　 所以DG：AF＝3：2

即　　　　 所以AF：FC＝：4DG＝1：6

例2. 如图2，BC＝CD，AF＝FC，求EF：FD

解：过点C作CG//DE交AB于点G，则有EF：GC＝AF：AC

因为AF＝FC　　　　 所以AF：AC＝1：2　　　 即EF：GC＝1：2

　　　　 因为CG：DE＝BC：BD　　　 又因为BC＝CD

所以BC：BD＝1：2　　　 CG：DE＝1：2　　　 即DE＝2GC

因为FD＝ED－EF＝所以EF：FD＝

小结：以上两例中，辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处，且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。请再看两例，让我们感受其中的奥妙！

例3. 如图3，BD：DC＝1：3，AE：EB＝2：3，求AF：FD。

解：过点B作BG//AD，交CE延长线于点G。　　 所以DF：BG＝CD：CB

因为BD：DC＝1：3　　 所以CD：CB＝3：4　　 即DF：BG＝3：4

　　　　 因为AF：BG＝AE：EB　　　 又因为AE：EB＝2：3

所以AF：BG＝2：3　　　　 即

所以AF：DF＝

例4. 如图4，BD：DC＝1：3，AF＝FD，求EF：FC。

图4

解：过点D作DG//CE，交AB于点G

所以EF：DG＝AF：AD

因为AF＝FD　　　 所以AF：AD＝1：2

即EF：DG＝1：2

因为DG：CE＝BD：BC

又因为BD：CD＝1：3

所以BD：BC＝1：4

即DG：CE＝1：4

CE＝4DG

因为FC＝CE－EF＝

所以EF：FC＝＝1：7

练习：

1. 如图5，BD＝DC，AE：ED＝1：5，求AF：FB。

例如：已知：如图10-1；AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝∠D。

分析：要证∠A＝∠D，可证它们所在的三角形△ABO和△DCO全等，而只有AB＝DC和对顶角两个条件，差一个条件，，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由AB＝DC，AC＝BD，若连接BC，则△ABC和△DCB全等，所以，证得∠A＝∠D。

证明：连接BC，在△ABC和△DCB中

　　　 ∵　

　　 ∴△ABC≌△DCB　 (SSS)

　　 ∴∠A＝∠D　 (全等三角形对应边相等)

例如：如图9-1：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E 。求证：BD＝2CE　

分析：要证BD＝2CE，想到要构造线段2CE，同时CE与∠ABC的平分线垂直，想到　　　　　　　 要将其延长。　　　　　　　　　　　　　　 　　

证明：分别延长BA，CE交于点F。

　　 ∵BE⊥CF　 (已知)

　　 ∴∠BEF＝∠BEC＝90° (垂直的定义)

在△BEF与△BEC中，

　 ∵

∴△BEF≌△BEC(ASA)∴CE=FE=CF　 (全等三角形对应边相等)

　　 ∵∠BAC=90°　 BE⊥CF (已知)

∴∠BAC＝∠CAF＝90°　 ∠1+∠BDA＝90°∠1+∠BFC＝90°

　　 ∴∠BDA＝∠BFC

在△ABD与△ACF中

　∴△ABD≌△ACF (AAS)∴BD＝CF (全等三角形对应边相等) ∴BD＝2CE

例如：如图8-1：AB∥CD，AD∥BC　　 求证：AB=CD。

分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。

证明：连接AC(或BD)

　　 ∵AB∥CD　 AD∥BC　 (已知)

　　 ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4　 (两直线平行，内错角相等)

在△ABC与△CDA中

　 　　∵

　 　　∴△ABC≌△CDA　 (ASA)

　　 ∴AB＝CD(全等三角形对应边相等)

例如：如图7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC于A ，BC⊥BD于B，　 求证：AD＝BC

分析：欲证 AD＝BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：△ADC与△BCD，△AOD与△BOC，△ABD与△BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。

证明：分别延长DA，CB，它们的延长交于E点，

　　 ∵AD⊥AC　 BC⊥BD　 (已知)

　 　∴∠CAE＝∠DBE ＝90° (垂直的定义)

　 在△DBE与△CAE中

　　 ∵

　　 ∴△DBE≌△CAE　 (AAS)

　∴ED＝EC　 EB＝EA (全等三角形对应边相等)

　∴ED－EA＝EC－EB

　即：AD＝BC。

(当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。)

例如：已知如图6-1：在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点。

求证：AB－AC＞PB－PC。

分析：要证：AB－AC＞PB－PC，想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB－AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB－AC＝BN， 再连接PN，则PC＝PN，又在△PNB中，PB－PN＜BN，

即：AB－AC＞PB－PC。

证明：(截长法)

在AB上截取AN＝AC连接PN ,　 在△APN和△APC中

∵

　∴△APN≌△APC (SAS)

　∴PC＝PN (全等三角形对应边相等)

　∵在△BPN中，有 PB－PN＜BN (三角形两边之差小于第三边)

　∴BP－PC＜AB－AC

证明：(补短法)　 延长AC至M，使AM＝AB，连接PM，

　　　 在△ABP和△AMP中

　　　 ∵

　　　 ∴△ABP≌△AMP (SAS)

　　　 ∴PB＝PM　 (全等三角形对应边相等)

　　 又∵在△PCM中有：CM＞PM－PC(三角形两边之差小于第三边)

　　　 ∴AB－AC＞PB－PC。

例如：如图5-1：AD为 △ABC的中线，求证：AB+AC＞2AD。

分析：要证AB+AC＞2AD，由图想到： AB+BD＞AD,AC+CD＞AD，所以有AB+AC+ BD+CD＞AD+AD＝2AD，左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。　　　　　　　　　　　　　

证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则AE＝2AD

　　 ∵AD为△ABC的中线　 (已知)

　　 ∴BD＝CD　 (中线定义)

　 在△ACD和△EBD中

　∴△ACD≌△EBD　 (SAS)

　∴BE＝CA(全等三角形对应边相等)

　∵在△ABE中有：AB+BE＞AE(三角形两边之和大于第三边)

　 ∴AB+AC＞2AD。

(常延长中线加倍，构造全等三角形)

练习：已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图5-2， 求证EF＝2AD。