43、(烟台?理科)四棱锥P―ABCD中，PA⊥面ABCD，PA=AB=BC=2，E为PA中点，过E作平行于底面的面EFGH分别与另外三条侧棱交于F，G，H，已知底面ABCD为直角梯形，AD//BC，AB⊥AD，∠BCD=135°

   （1）求异面直线AF，BG所成的角的大小；

   （2）设面APB与面CPD所成的锐二面角的大小为θ，求cosθ.

(解)由题意可知，AP、AD、AB两两垂直，

    可建立空间直角坐标系A―xyz，由平面几

何知识知：AD=4，D（0，4，0），B（2，0，0），

，即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°。…………12分

设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为

显然，为平面ACD的法向量。

 ……10分

则C（0，―1，0），………………9分

又BP//AF，∴BP⊥平面CDE。又∵BP平面BCE，

∴平面BCE⊥平面CDE。 …………8分

   （III）由（II），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），建立空间直角坐标系F―xyz.设AC=2，

∴DE⊥平面ACD，又AF平面ACD，

∴DE⊥AF。又AF⊥CD，CD∩DE=D，

∴AF⊥平面CDE。 …………6分

又∵AF平面BCE，BP平面BCE，

∴AF//平面BCE。 …………4分

   （II）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD。

∵AB⊥平面ACD，DE//AB，

∴AB//FP，且AB=FP，

∴ABPF为平行四边形，∴AF//BP。…………2分